什么是功率转移分布因子？

在进行直流潮流计算时，通常需要引入一个中间变量，即电压相角$\theta$，用以描述节点有功功率与线路有功潮流之间的关系。考虑到节点有功功率与节点电压相角是线性关系，线路潮流与线路连接两节点的电压相角差是线性关系，因此节点有功功率与线路有功潮流一定存在着线性关系，而直接描述系节点有功功率如何转移到线路有功潮流的这一线性系数矩阵，即为功率转移分布因子（Power Transfer Distribution Factor, PTDF）

如何计算功率转移分布因子？

首先给出节点有功功率与电压相角之间的关系方程：

$$P_{node} = B_x \theta$$

其中$B_x$为基于基尔霍夫定律所计算出的节点导纳矩阵，描述了节点电流与电压的关系（这里用$X_{i,j}$表示节点$i$到节点$j$之间的线路电抗）：

$$B_x = \begin{bmatrix}\sum_{N}^{i=1} \frac{1}{X_{1,i}}  & -\frac{1}{X_{1,2}}  & ...\\ -\frac{1}{X_{2,1}} & \sum_{N}^{i=1} \frac{1}{X_{2,i}} & ...\\ \vdots  & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$

线路潮流与电压相角间的关系可用如下方程进行描述：

$$P_{line} = B_{line} \theta$$

其中$B_{line}$为线路-节点导纳矩阵，描述了线路电流与节点电压差之间的关系。假设节点1与节点2之间，节点1与节点3之间存在线路连接关系，则$B_{line}$可表述为（其中行表示线路，列表示线路两端节点）：

$$B_{line} = \begin{bmatrix} \frac{1}{X_{1,2}}  & -\frac{1}{X_{1,2}}  & 0 & ...\\ \frac{1}{X_{1,3}} & 0 & -\frac{1}{X_{1,3}} &...\\ \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$

因此由以上两式可以得到：

$$P_{line} = B_{line} (B_x)^{-1} P_{node}$$

$$PTFD = B_{line} (B_x)^{-1} $$

需要注意的是，$B_x$是一个奇异矩阵，无法直接求逆，可将$B_x$中参考节点对应项置零（如此可行的原因在于我们默认$P_{node}$向量一定是遵守功率平衡方程的，因此无需通过$B_x$来保证基尔霍夫电流定律），如此得到$B_{x}^{*}$，因此实际计算中我们通过如下方程得到PTDF：

$$PTDF = B_{line} (B_{x}^{*})^{-1}$$

PTDF的计算示例

这里以一个3节点算例为模板，尝试计算其PTDF。

可以写出其$B_x$与$B_{line}$矩阵：

$$B_x = \begin{bmatrix} -15j  & 5j  & 10j\\ 5j & -10j & 5j\\ 10j  & 5j & -15j \end{bmatrix}$$

$$B_{line} = \begin{bmatrix} -5j  & 5j  & 0\\ -10j & 0 & 10j\\ 0  & -5j & 5j \end{bmatrix}$$

PTDF可由下式计算：

$$PTDF = B_{line} (B_{x}^{*})^{-1} = \begin{bmatrix} -5j  & 5j  & 0\\ -10j & 0 & 10j\\ 0  & -5j & 5j \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 0  & 5j  & 10j\\ 5j & -10j & 5j\\ 10j  & 5j & -15j \end{bmatrix} \right)^{-1} = \begin{bmatrix} 0  & -0.6  & -0.2\\ 0 & -0.4 & -0.8\\ 0  & 0.4 & -0.2 \end{bmatrix} $$

假设三个节点注入功率分别为15MW，5MW，-20MW，则线路潮流为：

$$P_{line} = \begin{bmatrix} 0  & -0.6  & -0.2\\ 0 & -0.4 & -0.8\\ 0  & 0.4 & -0.2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}15 \\ 5 \\ -20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 14 \\ 6 \end{bmatrix} $$

PTDF的应用

PTDF的应用使得电力调度优化模型无需考虑中间变量节点电压相角，有效削减了调度优化计算中的变量个数。如今主流的电力现货市场优化出清算法普遍采用的也是已PTDF为主计算潮流的出清优化模型，如《江苏省电力现货市场交易规则》第99页线路潮流约束中规定：

在《广东现货能量市场交易实施细则》中也有着类似的规定。此外采用PTDF形式便于进一步描述出清算法中节点电价的计算模型，这一点也是出清算法考虑采用PTDF计算潮流的主要因素之一。

后记

这是三年后的第一篇博文，依旧是记录我个人的学习与研究过程。为什么这期间没有继续更新博文了呢？我在这三年间主要在忙“读博”这一件事，如今目标已经达成，我也步入了新的工作岗位，希望日后能够保持更新。