这篇文章我最初发在知乎上：https://zhuanlan.zhihu.com/p/37747330 其中的木星掩食的天文观测视频我就不发到这里来了，有兴趣的话可以去这个链接里看一看。

昨天在知乎上看到有人怀念CPhO。原话大意是CPhO有些近代物理相关的题目还是有些意思的，比如那道利用木星掩食计算光速的题目。于是我去检索了一下，这道题是第十九届全国中学生物理竞赛决赛的第三道题，不难，但还是挺有意思的，现贴出来共赏之。

测量光速

历史上有人曾利用在地球位于其公转轨道的不同位置处测得的木星卫星周期首次求出了光电传播速度。现已知木星最近的一个卫星，木卫I的周期 T_{0} = 42.5h ，在地球公转轨道各处测得的木卫I的所有周期中，最大的比 T_{0} 多15s，最小的也比 T_{0} 少15s。假设地球木星轨道公转处于同一圆平面，木卫I的运行轨道也处于该平面。地球轨道的半径为 R_{E} = 1.5\times 10^{8}km ，木星轨道的半径为 R_{J} = 7.8\times 10^{8}km ，木卫I的轨道半径为 R_{1} = 4.2\times 10^{5}km

1. 试分析，地球所处不同轨道之处，地球，木星与木卫I的运动对木卫I运动周期测量的影响。

2. 利用这些数据合理近似的推导出光的传播速度c。

乍一看这道题好像与木星掩食没有丝毫关系，如果从求解该题的角度上来看，也确实如此。所以我们还是先解决问题再做展开。

观测木卫I（Io）示意图

如何从地球上观测并计算木卫I的轨道周期呢？如上图所示，我们以太阳系为参考坐标系，假设当地球处于Earth1位置时观测到木卫I处于Io位置，当地球运动到Earth2位置时，我们再次观测到木卫I处于相对于木星的原有位置上，则木卫I的轨道周期可以粗略的估算为地球从Earth1位置运动到Earth2位置所花的时间。在这段时间里，木星从位置Jupiter1运动到位置Jupiter2上。我们由题目已知，这段时间，也就是木卫I的轨道周期约为42.5h，可以略微估算出相对于太阳而言，地球和木星各自的轨道运动角度。

假设地球公转周期为365天，可以求出其在42.5小时中的运动角度：

\theta_{E} = \frac{360^{\circ}\times 42.5h}{365\times 24h} \approx 1.75^{\circ}\\

依据开普勒第三定律，可得木星公转周期约为地球的12倍，所以木星在42.5小时中的运动角度为：

\theta_{J} = \frac{1.75^{\circ}}{12} \approx 0.15^{\circ}\\

由此可见，木星与太阳的位置向较于地球与太阳的位置几乎未动。我们假设光速是有限的且速度不变为 v_{c} ，当木卫I到达位置Io1处时设为时间参考点，即为0秒，而我们从Earth1处观测到这一事件则是 t_{1} 秒。当木卫I环绕木星运动一个周期 T_{0} 后，再次到达相对木星位置不变的Io2点，而当我们从位置Earth2处观测到这一事件，则是 T_{0} + t_{2} 秒后。那我们人为所记录的木卫I的周期，也就是地球从位置Earth1运动到Earth2所花的时间为 T_{E} ：

T_{E} = T_{0} + t_{2} - t_{1}\\

从题意可知， T_{E} 与 T_{0} 之间的时间差为 t_{2} - t_{1} ，而这个时间差的最大值为15s，最小值为-15s，也可写为：

t_{2} - t_{1}\in(-15, 15)\\

因为假设光速不变，与 t_{2},\ t_{1} 直接相关的便是地球在位置Earth1与木卫I所处位置Io1的距离 s_{1} 和位置Earth2与位置Io2的距离 s_{2} 。为了方便计算，我们假设木星位置不变，以轨道圆平面为坐标平面，太阳中心为坐标原点建立坐标系：

木星位置不变，观测木卫I周期示意图

理论解法

设位置Earth1的坐标为(x1, y1)，位置Earth2的坐标为(x2, y2)， 我们有：

\left\{\begin{matrix} x_{1} = R_{E}cos\theta_{1} \\ y_{1} = R_{E}sin\theta_{1} \\ s_{1} = \sqrt{y_{1}^{2} + (R_{E} + R_{J} - x_{1})^{2}} \end{matrix}\right. \ \ \ \left\{\begin{matrix} x_{2} = R_{E}cos\theta_{2} \\ y_{2} = R_{E}sin\theta_{2} \\ s_{2} = \sqrt{y_{2}^{2} + (R_{E} + R_{J} - x_{2})^{2}} \end{matrix}\right. \\

\left\{\begin{matrix} |\theta_{2} - \theta_{1}| \approx 1.75^{\circ}\\ |s_{1} - s_{2}|_{max} = 15v_{c} \end{matrix} \\ \right.

\begin{align*} s(\theta) & = \sqrt{(R_{E}cos\theta)^{2} + (R_{E} + R_{J} - R_{E}sin\theta)^{2}}\\ &= \sqrt{R_{E}^{2}cos^{2}\theta + R^{2}_{E} + R^{2}_{J} + R^2_{E}sin^{2}\theta + 2R_{E}R_{J} - 2R_{E}^{2}cos\theta - 2R_{E}R_{J} cos\theta}\\ & = \sqrt{(R_{E} + R_{J})^{2} + R_{E}^{2} - 2R_{E}(R_{J} + R_{E})cos\theta} \end{align*}\\

这里就不进行严格证明了，由 s(\theta) 的表达式可以证得：

• s(\theta) 是偶函数，且周期为 2\pi

• 当 \theta \in (0, \pi) ，s(\theta) 为单调递增；当 \theta \in (-\pi, 0) ， s(\theta) 为单调递减

• s'(\theta) 是奇函数，周期为 2\pi ，当 \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ， s'(\theta) 为单调递增

• s'(\theta) 的极值落在 \frac{\pi}{2} + kT\ \ \ (\ T = 2\pi, \ k\in Z)

当 \theta \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) ，因为 s'(\theta) 在此区间为单调函数，且 \theta_{1} - \theta_{2} 很小，我们有：

s'(\theta) \approx \frac{s_{1} - s_{2}}{\theta_{1} - \theta_{2}}\\

当 \theta = \frac{\pi}{2} 时， s'(\theta) 可以取到最大值，因为 \theta_{1} - \theta_{2} 的值基本不变，所以同样地， s_{1} - s_{2} 可以取到最大值，进而求出光速:

s_{1}(\frac{\pi}{2}) - s_{2}(\frac{\pi}{2}-1.75^{\circ}) \approx 4.53\times 10^{6} km\\

v_{c} = \frac{4.53\times 10^6 km}{15s} = 3.022\times10^{8}m/s\\

实际解法

实际考试时是完全没有必要如此一板一眼的计算，只需进行简单的判断和估算即可。首先可以确认 s_{1} - s_{2} 的最大值为数学上求解的主要目标。其次，因为轨道运动角度很小（只有1.75度）我们可以将这段时间内（42.5h）地球的运动近似看作匀速直线运动，并可以将这段位移近似等同于这段时间内地球移动的路程 s_{E} ：

s_{E} = 2\pi R_{E}\frac{1.75^{\circ}}{360^{\circ}} = 4.58\times 10^{6} km\\

此时 s_{1},\ s_{2},\ s_{E} 之间的关系如下图所示：

依据三角形三边关系定理，任意两边之差小于第三边，我们有 |s_{1} - s_{2}| < s_{E} ，所以很容易可以得到 |s_{1} - s_{2}|_{max} = s_{E} ，进而计算出光速：

v_{c} = 3.053\times 10^{8}m/s

木星掩食

到目前为止，只见光速测量，似与木星掩食无干，但别忘了，我们之前所有的计算都有一个前提和一个假设。一个前提就是可以准确观测并记录到木卫I连续经过其轨道的同一位置（木星坐标系），一个假设就是这个位置是在木星与太阳连线之上。实际上真的想要严格地达到这前提和假设却是极难的。所以想要准确地确定木卫I位置并测量木卫I的轨道周期，观测木星掩食则是绝佳的手段。

木星掩食示意图

如上图所示，因为木星挡住太阳光的原因，木卫I总是有一段轨道是处在阴影区（图中所标的shadow区域）之中的，当木卫I处于Io1处，进入阴影区，则无法反射太阳光，进而导致从地球上观测发现木卫I会较块的消失，这一现象就被称为木星掩食也可直接称为做木卫一食。当地球与木星位置相对太阳角度合适时，木卫一食大约每42.5h发生一次，所以如果想要记录木卫I的轨道周期只需记录下每两次木卫一食发生的时间间隔即可。

当观测者位于E3处，木卫1位于Io2处时，可观测到木卫I的重现（Reappearance），而在位置Earth1与Earth2处则观测不到重现，反之亦然。在木星掩食中，木卫一消失的现象被称作Immersion，重现的现象被称为Emergence。Immersion和Emergence这两个现象都可作为确定木卫I位置的有力根据。这里需要强调一点的是在地球轨道不同位置所观测到的木星掩食现象也有所不同。下图展示了地球轨道上不同观测点所对应的各自的木星掩食现象。

E3，E4，Earth1，2四点所观测到的掩食现象发生的位置如上图所示，其中E4点的观测结果最为靠近木星，发生掩食是因被木星直接遮挡，其它三点观测的结果皆是在远离木星处发生掩食。掩食发生时，木卫I所表现的圆缺也不尽相同。上图给出了两个观测点掩食发生一半时的木卫I的月缺图。在不同的观测点，理论上木星掩食中木卫I的亮度变化也会不同。理论上可观测到的未开始掩食的木卫I最多会有1/18的阴影区域，但这1/18很大程度上会淹没于观测误差中，也就是实际观测到的月缺图的不同不会有上图表现的如此明显，而且即使观测到有区别，也不会对木卫I位置的确定有任何的影响。

罗默测定光速

丹麦天文学家罗默是有记录最早利用木星掩食来测量光速的人，也是有记录最早给出有效光速值的人。罗默长时间观测了木星掩食现象并将其发生的时间记录下来，并作出了光传播11分钟的距离约为地球轨道半径的结论。关于罗默测定光速的真实性与考据，可以阅读这篇文章：

CASSINI, R&Oslash;MER AND THE VELOCITY OF LIGHThttp://www.narit.or.th/en/files/2008JAHHvol11/2008JAHH...11...97B.pdf