在每一学期的电磁场课，我的老师Dr. N都会花大约两节课先讲一讲矢量场的基本知识，然后就直接引入Maxwell方程。究竟要花多长时间在矢量场基本上，需要在第一节课检测一下学生的基本功底，通常会出一道题做随堂测试，另一道做课后作业。经过三个学期的助教经历，我发现几乎每一学期Dr. N都会拿出固定两道题来完成上面所说的任务，我有些疑问：如果下一届的学生拿到上一届的答案了呢？这个随堂测试的目的不就很难达到了？不就变得失去了意义？不过很快，我又想，毕竟是美国学生嘛，动这个小心思的人恐怕不会多，便不再深究。后来有一天午餐时间，我突然又想起来这个问题，就顺便问了一下坐在旁边的Dr. N。结果他回答道，“没关系啊，如果他们记得住这个答案”。我一细想的确如此，如果他们记住了，就说明他们仔细研究过这道题，那么目的自然达到。如果他们连记都记不住，那就更不要提理解掌握了。这两题分别是，关于非质点地月间引力和关于月球引力场在地球表面分布所引发的潮汐力。

事实上，第一道题的杀伤力比较大，如果你是刚刚接触矢量场和球面坐标，面对这道题有极大的可能会懵逼，会束手无策。但是对于已经熟练掌握三重积分，矢量场和球面坐标的学生来说就几乎没有什么障碍了。非质点间的引力问题也常常出现在中学物理竞赛中，只不过在竞赛里只需要记住结论就好了。这里利用微积分来详细解析一下这道题，并说一说常见的几种错误，当然有时候也并非是错误，只是会使你进入解题的困境罢了。

题目是这样的：通常在计算地月之间的引力时，都会把地球和月球视为质点，因为他们彼此的距离非常的远。现在我们将他们看成均匀质量分布的非质点球体，他们之间的万有引力会发生什么变化呢？地月圆心之间的距离为L

我们先考虑地球上的一小块质量微元与月球上的一小块质量微元之间的引力，依据万有引力定律，可得：

将其中的质量微元进行拆解：

然而这两个体积微元如设置在同一个球面坐标系中，例如以地球圆心为原点，对月球体积微元的计算就十分复杂，很难再对dF进行体积积分。就统计结果看，约有25%的同学止步于此。所以可否尝试先计算整个球体对另一球体某一质量微元的引力，再将坐标系转换到另一球体，求解这一引力之和呢？这种思路或许会让人产生一种疑问，对某一质量微元的引力可否有着普遍性，从而推广到所有的质量微元？当然尝试一下也无妨。

按照这一思路，第一步也就可以理解为球体与质点间的引力计算：

这里在进行坐标系的选择中容易出现这样的错误，即将月球质量微元放在x轴或y轴上，如此在计算向量r与L的夹角时会十分的不便，因为球面坐标的Theta是向量r与z轴的夹角，所以将月球质量微元放在z轴上最为合适。如此写出引力的微分形式：

将体积微元拆开，并进行简单的向量的拆解运算：

向量r的基底课拆解为向量x,y,z的线性组合：

然而事实上在对角度Phi进行积分时，x与y分量的积分结果为0，所以积分后向量r也就只剩下了z分量（对Cosine和Seine函数积分，上下限为0到2pi，其结果为0）。所以球体与质点间的引力可以写为：

先对角度Phi进行积分：

对角度Theta进行积分：

我们可以进行换元处理，令cos(Theta)=x,x的范围在(-1,1)：

为了求解这个积分，我们可以将其抽象分解为下面这两个积分的计算：

对于(1)式，我们可以利用换元法求解，即令：x=b-2ax，求得：

对于(2)式的求解，我们需要用到(1)式的结论：

再利用换元，求解后可得：

将以上两个结论带入引力F的积分求解中，我们可以得到下面这个式子，仅与r相关的积分：

我们可以把该积分抽象为一个一般情况来进行求解（证明日后会给出）：

将该结论带入引力的积分求解中，我们可得：

不难看出球体与质点间的引力可以等效为位置在圆心的质点（其质量为球体的质量）与另一质点间的引力，也就是说球体与质点间的引力与球体的体积大小无关。这一结论在应用解决两球体间的引力问题时至关重要。

学生常犯的错误：

1. 忽略引力是矢量这一重要条件，将其作为标量场求解。因为地月距离远大于地月半径，所以得出质点与非质点的计算结果差距不大的结论，然而这是错误的。

2. 对矢量场的计算不熟悉，将方向向量当成单位向量带入计算。得到和错误1相同的答案。

3. 对三维球面坐标不熟悉。在计算球体对质点的引力时，将质点放置在x或y轴上，导致对Theta的积分很难计算。