极限的概念最早来源于牛顿的 "初量与终量的比值方法"（见《自然哲学的数学原理》，牛顿，1686；北京大学出版社，科学元典丛书）：

量以及量的比值，在任何有限时间范围内连续地向着相等接近，而且在该时间终了前相互趋近，其差小于任意给定值，则最终必然相等。

上述引文中的"量"该是指复数个量，如两个量 A 和 B。具体地，设想 A 和 B 代表直角坐标系中的两个点的纵坐标，而以时间 t 作为横坐标。现在选取横坐标上的任意有限范围 [t1, t2]，则原话理解为 A 和 B 在 [t1, t2] 上越来越彼此靠近（"越来越" 是什么意思？意思是当 t 从 t1 连续变化到 t2 的过程），即 t 连续变化到t2时，|A - B| 持续减少。此处的理解，跟原话的 "向着相等接近" 似有微妙差别。 接着牛顿补充道 "在该时间终了前相互趋近，其差小于任意给定的值"。该时间 t "终了前" 指什么？是指 "t 到达 t2 前" 还是 "t 到达无穷大前"？应该是指后者。于是，牛顿补充的原话是指：t 到达无穷大之前，A 和 B 相互趋近，并且 |A - B|<ε，其中 ε 是任意给定的正值。到此为止讲的是题设。结论是，"最终必然相等"，即 A = B 在 t = +∞ 处。

然后，牛顿用反证法来证明上述引文的结论：

若否定这一点，可设它们最终不相等，令 D 表示其最终的差。这样它们不能以小于 D 的量相互趋近，而这与题设矛盾。

确实，整个过程中，A 和 B 越来越靠近，若假定最终的差是 D (≠0)，则到达最终之前，A 和 B 的差必然大于 D。于是就找到了一个给定值 D，它破坏了题设 "在该时间终了前...其差小于任意给定值"。

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讨论完了牛顿关于极限的概念，转而来考虑一个关于计算误差的问题：设想要制作一个正方形的桌面，此桌面的边长为 x，则其对角线长度为 f(x)。问：如何控制 x 的误差 δ，使得 f(x) 的误差优于给定的标准 ε？

此处的 f 无非是"乘以根号2"，即 f(x) = √2·x。若要 |f(x') - f(x)|<ε，则写出 

f(x') - f(x) = √2·x' - √2·x = √2 (x' - x)

两边取绝对值得到 |f(x') - f(x)| = √2·|x' - x| = √2·δ

于是，若要 |f(x') - f(x)|<ε，只须 √2·δ < ε，即 δ < ε/√2。

上面的讨论中，用 x' 表示带有制作误差的边长，误差当然是 |x' - x|，记作 δ 。为了节约符号，误差仍用 |x' - x|表示，则上面最后一个不等式即 |x' - x| <ε/√2。现在用 δ 记录误差上限 ε/√2。

把以上论证总结一下：对于任意给定的 (误差标准) ε>0，存在 δ (= ε/√2) >0，当 |x' - x|<δ 时，则有  |f(x') - f(x)|<ε。

不难看出，这个表述所蕴含的模式与(函数)极限的定义所蕴含的模式是一样的。由此：如果先行讲解测量及其误差，可以更为自然地引入极限的定义 —— 至少可以事先接触到其中的模式。这就是本文要表达的主见。