[按：下文是从邮箱的草稿中找出的，草稿的日期是2020年9月9日。有关学习笔记的上下文见链接及前后博文。早先因产生保守思想，故没有公开发布。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * ？？？

通俗地温习伽罗瓦的命题2。

一、“世界” 的观点

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一开始面临着一个多项式方程 f(x) = 0。伽罗瓦推广了 “rational” 的概念，从而实质上引入了 “(数) 域” 的概念。具体来讲，凡是能用方程的系数表达为有理函数的量，都看作 “有理量”，哪怕方程的系数并非都是有理数。更进一步，方程的系数以外，如果有若干确定好的量 (事先已知)，则它们的全部有理函数也看作 “rational”。

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举例来说，假设方程的系数中有 1 和 √2，则 (1 + √2) /(1 - √2) 就是一个有理函数，从而看作 “有理量”。有理函数是指形如 P(·)/Q(·) 的表达式，其中 P(·) 和 Q(·) 都是 (多元) 多项式。伽罗瓦所指的 “有理函数” 该是把方程的系数看作 P 和 Q 中的多元变量 (待考)，而 P 和 Q 中的系数似乎默认为有理数 (待考)。比如 P(1, √2)/Q(1, √2) 是 1 和 √2 的有理函数。对于一般的 n 次多项式，设其系数为 an, an-1, ..., a1, a0 (可以不是或不全是有理数)，则它们的有理函数为 P(an, an-1, ..., a1, a0)/Q(an, an-1, ..., a1, a0) —— 这就是 (伽罗瓦意义下的) “有理量”。

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对于系数以外的某些特定的量，比如 p 次单位根 (记作 rp)，它的有理函数 P(rp)/Q(rp) 也看作 “有理的”。所谓 “特定的量”，可以理解为辅助量 (它们为理论所需)。

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以上两段 (分别) 解释第一段的后两句。简单讲，方程的系数和特定的量是少许已知的量，这些量又派生出一大批 (间接) 已知的量，后者包含前者。由于前者是通过有理函数的方式派生出了后者，于是后者中的任何量也称作 “known rationally”，统称为 “已知量”。

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评论：伽罗瓦的规则 (有理函数) 看上去很 “强”，而 “域” 的定义只需要按四则运算封闭。注：对于前者，形式不变或统一的形式其实就是封闭。

---- 很可能两种规则是等价的 (待考)。

---- 若此，伽罗瓦的规则更具可操作性。

---- 比如，添加 3√2 到有理数域，可写出 P(3√2) = a·(3√2)2 + b·3√2 + c 和 Q(3√2) = d·(3√2)2 + e·3√2 + f，再做分式 P(3√2)/Q(3√2)，然后通分即可得到新域中元素的 “通项表达式” (待考)。

(疑问：添加一个超越数会怎样?)

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加评：方程的系数和特定的量是有限的，但伽罗瓦从中 “张” 出了一个无限集合，这里头蕴含某种思想 —— 不是只盯着眼前几个数，而是顾及连带的规则。伽罗瓦在处理预解式时也采用了类似手法 (对预解式中的根做全排列)。这个思想可以概括为：从少数量出发 (借助规则) 拿出全部。这里头有集合论的思想*，但不止于此。星号注：忽然想了解伽罗瓦和康托 谁先谁后... 

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加评：伽罗瓦的规则可用映射的语言来表述，即 (an, an-1, ..., a1, a0) ~> P(an, an-1, ..., a1, a0)/Q(an, an-1, ..., a1, a0)。

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特评：前述思想的重点是 —— “世界” 的观点 —— 无论是显现的还是设想的，都要放到它们所在的 “世界” 中去考察。进一步说，每个代数结构都定义了一种 “世界”。群、环、域、各种 “空间”，都可以看作 “世界”。每个世界都有各自的基本法则，规定着成员之间的相互作用，其结果不会跑出世界。

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二、两个世界

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Edwards 的书里将方程的已知量 (集合) 记作 K，并假定它包含 p 次单位根 (p 是素数)。另一个 “内生配置” 是方程的伽罗瓦群 G，前文已述。按照前述观点，K 和 G 表示两个世界*，它们是多项式方程的 “内生配置”，通过方程发生联系。注：两个世界不是指下面的两个图，而是指 K 和 G。

 K

  |      

 f(x) — G

注：由方程 f(x) 的系数和根 (分别) 得到两个内生的集合 K 和 G。

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接着从 K 里拿出一个元素 k 取它的 p 次根 (记作 r)，并将 r “添加” 到 K 中，从而得到 K' ( 也记作 K(r) )。此时对应的 G 记作 G'。

 K'

  |      

 f(x) — G'

注：方程的两个内生配置呈现 “联动关系”。

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命题 2 是说：若 K 按上述手续扩张为 K'，则：要么 G' = G，要么 G' 是 G 的正规子群 (且 G 的元素个数是 G' 的 p 倍)。

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评论：一个世界发生变化 (变大)，另一个世界随之变化 (变小)。

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三、可能有用的...

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原理：(任何) 命题的条件和结论相当于程序的输入和输出，呈现为 “表象联系”，从中很难看出命题要干嘛。命题的证明则相当于程序的 body，揭示条件和结论的 “本质联系” (或内在机理)。而证明的下手之处，则应该从 “输入” 的来源里去找，也要从“命题要干嘛” 这个角度考察上下文、寻求线索和认知。须知，并没有人拿出命题*让作者去证明，而是作者走通一条路之后，提炼整理成命题的样子，并把中间过程按证明的模式加以表述 (这样逻辑上会更完善和严谨，但也会改变认知路线及丢失历史信息，须通过考察上下文及合理想象来重构之)。注：有些时候作者也可能先提出或猜出命题 (也可能出于需要而诱导出来)，然后设法证明之。

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命题2的证明... 先做个分析。上一节的两个图可以看作 “大世界” 的两个状态：初态和终态。大世界 (初态) 包含两个世界 K 和 G。为了做出证明，不能停留在两个世界的符号层面，而是要 “下沉” 到它们的来源，以及整个的上下文。K 和 K' 都是清楚的。这样就要从 G 的来源入手 ——

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伽罗瓦群 G 来源于伽罗瓦预解式 t: = Aa + Bb + Cc + ... 。对于选定的 A, B, C, ... 伽罗瓦预解式共有 n! 个实例。以它们为根构造出 n! 次多项式 F(X)，后者在 K 中分解为不可约因式的乘积。取出以 t 为根的不可约因式，记作 G(X)，它的其余的根记作 t', t'', t''', ... (显然，这些带撇的 t 仍是伽罗瓦预解式的 n! 个实例的一部分)。注意，此处给字母带撇不是求导数的意思。

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接着是最关键的 “事件”：把每个根表示为 t 的多项式 (系数在 K 中)。即 a = φa(t), b = φb(t), c = φc(t), ... 。(这很奇特... 是什么促使伽罗瓦这样做呢?)。这样做了以后，将 t 换成 t', t'',... 就得到了伽罗瓦阵列，它就是方程的伽罗瓦群的表述。

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以上写出了 G 的来源。现在有了 K'，它比 K 的范围大一些了。于是设想 G(X) 在 K' 上分解为不可约因式的乘积，其中以 t 为根的不可约因式记作 H(X)，设它的其余根为 t', t'',... (它们是 G(X) 的根的一部分)。此时，从前述伽罗瓦阵列中拿出 H(X) 的根对应的那些行，这些行对应的置换的集合记作 G'。需要证明 G' 构成群，并且要么 G' = G，要么 G' 是 G 的正规子群 (且元素个数相差 p 倍)。