《Galois theory》

Galois 群是根的排列构成的群.

* * * 17:30

Using this lemma, Galois proves (A) as follows.

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Since f(φa(X)) is a polynomial in X with coefficients in K, and since it has the root t in common with the irreducible polynomial G(X), by Lemma I it is divisible by G(X) and every root of G(X) is a root of f(φa(X)).

写出四角图

f(φa(X))   G(X)

    |       /      |

    t              质                 

注：f 和 G 都是关于 X 的多项式，二者有共同的根 t, 而 G 不可约，于是由引理1 G 整除 f. 由此，G 的每个根也是 f 的根.

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评论：此处的窍门是 f 的嵌套构造.

---- a, b, c, ... 是 f(x) 的根.

---- 按前文 a = φa(t), b = φb(t), c = φc(t), ...

---- 以 a 为例，代入 f(x) 得 f(a) = f(φa(t)) = 0.

---- 将 t 替换 为 X, 即得 f(φa(X)).

---- 通过复合操作，使得 f 和 G 可以关于 t 说事.

(往下深入了一层...)

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Similarly, every root of G(X) is a root of f(φb(X)), f(φc(t)), ... .

---- 上述情况对于 b, c, ... 也成立.

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This shows that the entries in the presentation (1) of the Galois group are all roots of the equation f(x) = 0.

---- 这表明 (1) 展示的 Galois 群 全都是 f(x) = 0 的根.

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If two entries in the same row are equal, there is an equation of the form φd(t') =φe(t'), where d and e are roots of f(x) = 0 and t' is a root of G(X).

---- 用 d 和 e 指示同一行中的两个成员, 用 t' 指示该行.

---- 该行两个成员相等意味着φd(t') = φe(t').

---- t' 是 G(X) 的根.

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By Lemma I, G(X) divides φd(X) -φe(X) and therefore t is a root of φd(X) -φe(X) .

写一下四角图

φd(X) -φe(X)     G(X)

             |        /      |

             t'               质

注：按前一句，φd - φe 和 G 有共同的根 t', 而 G 不可约，则 G 整除 φd - φe. 从而 G 的 根 t 也是 φd - φe 的根.

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评论：此处 t' 是 G 的任何一个根，标识 (1) 的任何一行；而 t 也是 G 的根，但只标识 (1) 的第一行.

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Thus d =φd(t) =φe(t)= e.

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评论：假设任一行两个元素相等，则第一行对应位置上的两个元素也相等. 

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Thus each row of the presentation of the Galois group includes each root of f(x) = 0 at most once, and (A) follows.

---- Galois群的展示中，每行包含 f(x) 的每个根之多一次，于是 (A) 成立.

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小结：以上是对 (A) 的证明，包含两个方面：阵列 (1) 中所有元素都是 f(x) 的根；若第一行任意两个根不同，则任一行相应位置的两个根也不同 —— 每一行的元素都是根且互不相等，则每一行只能是诸根的排列.

* * *20:25 (含吃饭和开小差时间)