[注：下文是群邮件的内容，标题是另拟的。]

《Galois theory》

终于给出 Galois 群... 

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Finally, let G(X) be an irreducible (over K) factor of F(X) of which t is a root. (See S38)

---- 令 G(X) 是 F(X) 的不可约因式，t 是它的根.

---- “不可约”是关于 K 而言.

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评论：前文说 F(X) 是 n! 次多项式且有 n! 个不同的根.

---- 显然 F(X) 可以写成 n! 个一次因式的积.

---- 这意味着 G(X) 是一次因式.(?)

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注：前文没说 F(X) 的系数是否在 K 中.(?)

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The conjugates t', t'', ... of t (over K) are the other roots of G(X).

---- t 的 共轭 t', t'', ... 是 G(X) 的其它根.

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评论：这句意味这 G(X) 不见得是一次因式.

---- 这应该与括弧中的 “over K” 有关.

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注：此中疑问留待考察具体例子时细究.(?)

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The Galois group of f(x) = 0 is presented by

φa(t)    φb(t)    φc(t) ...,

φa(t')   φb(t')    φc(t') ...,       (1)

φa(t'')  φb(t'')    φc(t'') ...,

...

---- 给出了 Galois 群的表述.

---- 阵列的行数是 G(X) 根的个数.

---- 也就是 t, t', t'' ... 的个数.

---- 阵列的列数是 n.

---- 按前文，第一行就是 n 个根 a, b, c...

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注：从后文知第一行之后的诸行只不过是 a, b, c 的排列！而整个阵列给出一个群.

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The number of rows in the table -- and therefore the number of elements in the group -- is equal to the number of roots t, t', t'', ... of G, which is equal to deg G.

---- 阵列的行、群的元素、G 的根的个数 都等于 G 的次数.

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(Note that the conjugates t', t'',... are all roots of F and therefore of the form: ASa + BSb + CSc + ... where S is a substitution of a, b, c, ....)

---- t', t'', ... 都是 F 的根因此具有形式 [RSr]

---- S 是根的置换.

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注：G 是 F 的因式从而 G 的根也是 F 的根.

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玩一下四角图：

G         Gal

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Φ          F

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注：Φ 有 “根性” 故为 “王”，F 辅之故为 “相”，G 资之故为 “侯”，Gal 战之故为 “将”.

---- “将” 关乎真正地解决问题.

---- 右上角意味着 “重器”.

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In order to justify this definition of the Galois group it must be shown that:

---- 为了检验 Galois 群的这个定义须满足若干条件.

(就是后面的 (A)(B)(C)主要是 (A)).

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评论：这种说法属于“事后”观点.

---- 伽罗瓦从无到有地输出时一切都是自然的.

---- 就是那种一边摸索一边发现的情状.

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(A) for any conjugate t' of t, the elementsφa(t'),φb(t'),φc(t') ... are an arrangement of the 1st row φa(t) = a,φb(t) = b,φc(t') ...;

---- 阵列的后面诸行是第一行的排列.

---- 第一行是 f(x) 的 n 个根: a, b, c....

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评论：可能这是伽罗瓦的最关键发现.

---- 在研究路径的某个点上会产生突破性发现.

---- 这时你会确信自己在正确的道路上.

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(B) the arrangements in the table present a group; and

---- 阵列给出了一个群.

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(C) the group of substitutions of the roots a, b, c, ... presented by the table is independent of the choice of the Galois resolvent t.

---- 阵列给出的群与 t 的选择无关.

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小结：初步了解到 Galois 群 (由根的排列给出).

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