[注：下文是群邮件的内容，标题是抬头。]

学习一门新的数学意味着什么？

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上次提到 “Galois cohomology”。不少人看到陌生的术语可能会 “发悚”。既然作为书的名称，意味着它就是全书的 “主题” (就像一部电影的片名)。也可以看作 “中心对象”。作者必然围绕这个主题展开论述。然而，书的呈现方式往往是 “线性” 的，至少表面上是这样。这就会诱使很多读者按 “从头到尾” 的方式阅读。而大多数时候，课程也是这样展开的。

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可以设想，作者们也是这样考虑的：这里有一个主题 A，它依赖于 B，这样就得从 B 开始。

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可是 B 可能会有 70 页。而很多人在到达 A 之前，已经 “绊倒” 在 B 的某个地方。更何况，B 里头也有很多内容依赖于 C，后者又依赖于 D，等等。这样看上去，根本就没法学了。但是仔细想一下，作者写 B 的时候提到 C，他也未必了解 C 及其依赖的全部内容。

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回到 Galois cohomology (JP Serre 的书)。它的定义在第 71 页，涉及到两样东西：Galois 群 和 离散群，前者作用于后者就得到 Galois cohomology。这两样东西不是随便放在一起。能这样做是因为 Galois 群 恰好是个 “profinite 群”。那么，什么是 profinite 群呢？什么是 cohomology 呢？这要用 70 页的篇幅来讲（相当于一部电影的 “前传”）。

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好了，回到书的第一页看看：profinite 群是一个 topological 群，它是一系列 finite 群的 projective limit。这里出现了 “ topological 群” 和 “projective limit”，上哪里知道它们的定义呢？跑出这本书了！假如你跑去找出它们的定义，会发现又有两本厚厚的书等着你来读。

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这样的话，设法从主题直接开始学习也是一样的 —— 你总得假定已经知道了些什么 (尽管你并不知道) —— 至少这样做可以 “拉动” 前 70 页的学习。

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回到开头的问题。可能最好的视角是把它看作：通关游戏。学习一门新的数学相当于打通一部游戏。也许要花两年的时间弄通这么一本书，于是学习者可以用书名来定义一个“时代” (比如 “Galois cohomology 时代”)。