[注：以下是群邮件的内容。标题是新拟的。]

昨天下载了两篇文章。

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先读短的这篇，共22页（预印本格式）.

---- 文章的作者和来源可以搜索标题确定.

---- 以下蓝色字体录自原文.

评论：用学习来压缩闲聊的空间和时间.

(所有内容没有职业暗示，仅作即兴学习).

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标题是 “Ring theoretic properties of certain Hecke algebras”.

---- 某种 Hecke 代数的环性质.

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引言部分. 第一段(逐句评论).

In the work of one of us (A.W.) on the conjecture that all elliptic curves defined over Q are modular,...

---- 作者之一的工作，即Q上所有椭圆曲线都是modular的猜想...

---- Q 该是指有理数域.

---- 看到“modular”, 先想到“模形式”*...

---- 姑且称作“模”.

评论：以前看到没见过的会跑去“查户口”, 现在懂得止于名字.

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...the importane of knowing that certain Hecke algebras are complete intersections was established.

---- ...建立了知道某种 Hecke 代数是 complete intersections的重要性.

---- “intersections”是某种几何概念.

---- 大概指“相交”或“相截”. 姑且译作“截交”.

评论：正在读的其它文章里出现过 intersections, 有专门的著作(Intersection theory).

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The purpose of this article is to provide the missing ingredient in [W2] by establishing that the Hecke algebras considered there are complete intersections.

---- 此文的目的是给出 [W2]中缺失的成分，即证明那里所考虑的 Hecke 代数(的确)是完全截交.

---- [W2] 是前一篇文章(存在不足).

评论：这种情况很有趣, 就像是一种安排.

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As is recorded in [W2], a method going back to Mazur [M] allows one to show that these algebras are Gorenstein,...

---- 如[W2]所记录的, 源于 Mazur [M]的一个方法能让人证明那些代数是 Gorenstein 类型...

---- 这里提到 “method” 一词. 

---- 可见这是个“找方法”的事情.

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...but this seems to be too weak for the purposes of that paper.

---- 但对于那篇文章的目的而言这似乎太弱了.

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The meshods of this paper are related to those of chapter 3 of [W2].

---- 本文的方法关乎 [W2] 第三章的方法.

---- 再次提到方法.(该是提出了新方法).

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评论：末尾这两句带有“撇清”的意味(方法的性质及来源).

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小结：第一段共四句话，交待了背景、目的/结果，以及方法的来源.

---- 核心: 某种Hecke代数是完全截交.