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“基础数学”是个错误的称谓。
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“基础数学”是个错误的称谓。
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Step6 已经得到结果：L' + P' ~ G'.
---- 凡是带撇版的关系，去掉撇也成立。
（但反过来要注意不带撇零与带撇非零的事情）
---- 这一点证明中没有明说，但经常用到。
（判断 log resolution 该是可逆映射）
---- 于是：L + P ~ G.
---- 原作的写法是“...L = L + P ~ G”.
---- 意思是 P = 0.
---- 总之：L ~ G.
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评论：原作提到“...by the exceptionality of P'...”.
---- 该是这一条负责 P = 0.
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再来看 L 的表达式：
L = (n+1)M - nKx -nE -\(n+1)Δ/.
---- 这是从 L' 的定义得到的，从带撇版去掉撇。
（L' 可看做由“参” 演化而来*）
---- 但这里有个微妙的差别：nΔ - \(n+1)Δ/ = 0.
（nΔ - \(n+1)Δ/的带撇版不为零）
---- 于是： L = (n + 1)M - nKx - nE - nΔ
= (n + 1)M - n (Kx + B)
---- 于是：G ~ (n + 1)M - n (Kx + B)
评论：可以想象，原作在草稿纸上推演出很多形式的 L，并从中选取其中之一作为G的构造。
疑问：为何 L 非得是这样的形式，而不是别样的形式？（或许只能从更大的上下文获得解答）。
---- 证明猜想的过程也是构建理论/方法的过程。原作是要证明猜想，但也希望中途得到的结果具有普遍的意义，于是就把这些中间结果以命题、引理、定理、推论的形式固定下来。在这个过程中，也可能对中间结果做了一定的推广或“标准化”，使得它们具有相对或绝对的独立性。我是这么猜测。
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再来看Gs'的表达式：
Gs':= nΔs' - \(n+1)Δs'/ + nRs' + Ps'.
---- 按Step7的推导，可以得到：
G'|s' = nΔ'|s' - \(n+1)Δ'/|s' + nRs' + P'|s'.（#）
其中只有Rs'的下标暂未分离。上式的不带撇版：
G|s = (nΔ - \(n+1)Δ/)|s + nRs + P|s.
其中粉色式子和P都为零，于是：
G|s = nRs.
注：原作中没有做这个推导，但可以帮助理解。
---- 得到 G 的那个等价构造（绿色式子），原作忽然规定：nR:= G.
---- 这个规定显得有些突兀，现在就不难理解了：
---- 橄榄色式子提示，若Rs的下标是分离的，立刻有：G = nR.
---- 这样，Step8的核心任务是分离Rs的下标。
评论：作者用后见之明做出规定，该是方便起见：
----先规定nR:= G再证明Rs的下标可分离。
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加评：后面又出来一个规定：“nR' =...”，这也是从假定Rs的下标可分离得到的。
---- 原作的原始思路是：（倒过来）假定最终结果（Rs=R|s）成立，然后进行推演，走通后再按正向走一遍。
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假定Rs的下标可分离。
---- 由橄榄色式子的带撇版得：G'|s' = n R'|s'。X
---- 这样考虑不对，要返回到（#）式：
G'|s' = nΔ'|s' - \(n+1)Δ'/|s' + nRs' + P'|s'.
---- 将假定代入上式，得：
G'|s' = nΔ'|s' - \(n+1)Δ'/|s' + nR'|s' + P'|s'.
（注意：R'尚未定义，只是形式上的存在）。
---- 对比两个式子，启发是：将黑体部分移到左边，其余项移动到右边。先看第一个式子：
nRs' = G'|s' - P'|s' + \(n+1)Δ'/|s' - nΔ'|s'
= (G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ')|s (%)
再看第二个式子：
nR'|s' = G'|s' - P'|s' + \(n+1)Δ'/|s' - nΔ'|s'
= (G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ')|s (%)
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评论：第一个式子没有问题。第二个式子，R' 没有定义。不要紧，先欠着，继续推导：
---- 第二个式子两边去掉|s'，得：
nR' = G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ'.
---- 由于 R' 没有定义，但式子是有的，于是，上式该按定义理解，即：nR' := G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ'. ($)
---- 现在，第二个式子(%)也有了意义，从而有：nRs' = nR'|s'. 换句话说：Rs' = R'|s'.
（正向证明时，没这么直接，要用到 nN'|s ~ nRs'）
注：虽然 R' 有了定义，但它和 R 的关系尚不清楚。
---- 这个关系要从($)推导出来（用到 L'+ P' ~ G'）：
nR' := G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ'
两边实施撇算子的逆运算，意味着：
φ*(nR') = G = nR.
其中，第二个等式须假定Rs下标可分离。
---- 这样就看清楚了：nR' 是 nR的 带撇版（pullback）。
---- 或者说，R' 是 R的带撇版。
（要点是：分清楚形式上的带撇和有意义的带撇）。
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加评：以上是假定终点成立进行推演（倒着走）。
---- 要写出证明，就得把倒过来的再倒回去。
---- 这样，就得规定 nR := G.
---- 原作在 Step8 开头稍后即引入此规定，确属突兀。
（“突兀”该是出于写作的方便，或在所难免）。
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总之，1. Rs' = R'|s' --> R|s
2. Rs' --> Rs
考虑到 log resolution 是可逆的（即一一映射），即得：Rs = R|s.
注：按照原作的说明，只要证明这一点，(X, B^+) 在 S 附近 系 lc 即能成立（用到[16]，2007年的文章）。
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小结：Step7定义了Gs' 和 Rs、Rs'，前者的下标很快就分离了，后者留给了Step8.
---- Step8 的主题是分离Rs的下标（借助Rs' 和 R'），概括为“仁”。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1158163.html
上一篇：“参”就是“M - (Kx + B)”，贯穿整个证明。
下一篇：理解是一种认知现象。
