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 *今日博主*：徐令予李颖业张忆文林中祥 张云 李学宽 宁利中 蒋迅 蒲亨建 刘全慧 韩健 毛宏王庆浩尤明庆张操张忆文曾新林文克玲蔡宁吕洪波杨正瓴彭真明蒋继平姬扬徐耀刘钢刘全生吕喆 王鸿飞 陈儒军 马臻 刘进平 赵美娣 鲍永利 戴世强 周涛 刘洋 邢志忠 曾泳春郭景涛余国志（保留若干神秘博主）

继续探究 normal variety 的概念。摘录昨天笔记的开头：

normal variety*: In algebraic geometry, an algebraic variety or scheme X  is normal if it is normal at every point, meaning that the local ring at the point is an integrally closed domain.  

评论：此解释说，variety是normal的，是指它在每个点normal的。这使我想起实变函数里的“开集”，也是从每个点服从的规则来定义的。

加评：X在每个点是normal的，是指在每个点处的 local ring 是个 integrally closed domain. （variety里头的每个点处，总是有个local ring，这似乎很有兴味）。

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新的考虑：不深入到其它两个概念，直接理解：在每个点normal，意味着“均一性”、“同质性”，在某方面“处处平等”，给人以“平坦”的印象。至于这样定义的用途，就只能到上下文里去考察了。（“均一性”可视为某种“不变性”）。

疑问1：可否引入其它形式的normal？（即把 local ring 替换成其它事物，并赋予类似的均一性）。

疑问2：任何variety的每个点处都存在local ring吗？（定义里有这样的暗示，但感到不能想当然。不能定义里默认地假定了每个点处local ring的存在性）

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又及：local ring 似乎具有基本的重要性，值得了解*。（以下接续昨天local ring部分的笔记）。

In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal.

评论：提及的“localization of a ring”很有兴味：怎么还要把“环”局部化？

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可能有用的结论*。 

A ring R is a local ring if it has any one of the following equivalent properties:

• R has a unique maximal left ideal.

• R has a unique maximal right ideal.

• 1 ≠ 0 and the sum of any two non-units in R is a non-unit.

• 1 ≠ 0 and if x is any element of R, then x or 1 − x is a unit.

• If a finite sum is a unit, then it has a term that is a unit (this says in particular that the empty sum cannot be a unit, so it implies 1 ≠ 0).

评论：上述第4、5条性质很奇特。(若任何variety的每个点处都存在local ring，则variety本身也显得奇特了)。

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小结：normal variety 暂时探究到这里。

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