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（接上回$）2.5. Minimal models, Mori fibre spaces, and MMP.  Let X --> Z be a projective morphism of normal varieties and D an R-Cartier R-divisor on X. Let Y be a normal variety projective over Z and phi: X --> Y/Z be a birational map whose inverse does not contract any divisor. We call Y a minimal model of D over Z if:

(1) phi is D-negative, and

(2) DY = phi_*D is nef / Z.

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评注：给出“minimal model”的定义。

评论：关系较多且略复杂。先将各名词列出如下：

1. projective morphism （待查）

2. normal variety （待查）

3. normal variety projective （待查）

4. birational map （待查）

5. D-negative （待查）

6. phi_* （待查）

7. nef （待查）

8. /Z （待查）

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各符号的关系如下：

1. D ~ X --> Z ~ Y

2. phi: X --> Y/Z

注：核心是定义 Y 和 D 的关系，即 Y 作为 D 的 最小模型（关乎Z）。

注：此定义为“预编程”，只有在适当上下文里才能看清其用意。

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On the other hand, we call Y a Mori fibre space of D over Z if Y satisfies (1) and 

(2)' there is an extremal contraction Y --> T/Z with -DY ample/T and dim Y > dim T.

注：更换第二个条件，则Y 和 D的关系定义为： Y 作为 D 的 Mori 纤维空间（关乎Z）

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If one can run a minimal model program (MMP) on D over Z which terminates with a model Y, then Y is either a miminal model or a Mori fibre space of D over Z. If X is a Mori dream space, eg a Fano variety, then such an MMP always exists.

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第一句，如果可以在D上（关乎Z）运行最小模型程序，并以得到模型Y结束，那么Y要么是D的最小模型（关乎Z），要么是D的Mori纤维空间（关乎Z）。

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第二句，如果X是Mori梦空间，如Fano variety, 那么这样的MMP总是存在的。

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评注：两个重要结论。

评论：第二句提示了Fano variety的意义所在。Mori梦空间和MMP似乎具有核心重要性。

注：看上去，Fano和Mori都是代数几何中的灵魂人物。

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小结：2.5完结。本节仍然是准备概念、介绍重要结论。（好多概念待查）。

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