【注：下文是单位群邮件的内容，标题是后加的。】

可否设计“方语言”，把方法程序化？

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昨天忽然想起《几何原本》中的命题1.2。以前不怎么待见这本书，后来研读了这个命题才略知利害[注]。命题1.2给出一条线段和其外一点，求另一点，使得此两点连线与所给线段等长。如图：

                          *C

    (D*)        

*A         *B

其中B、C是所给线段的端点，A是BC外的点。

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这道题放到最近的上下文里，就产生这样一个问题：可否通过“画方”求解该题？

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折腾了一会儿，竟然办不到！然后回到原解，寻思其中的“方法”。翻阅发现，直到命题1.46才有画方。在此之前，就只能靠“法”了。而“法”的精神是“去除不直”，或者说“最短路径”。

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于是转而考察原解是否“依法”行事。第一步：连接点A和点B，得到线段AB。果然是就近连接（路径最短）。第二步该怎么做？既然新得到AB，就要用它做点事情，显示其存在。按照“方”法的思路，可用AB得到一个方：即在AB上作一个正方形。但是，不说现在还不能画方，就是硬画，似乎也解不出此题。原解第二步：在AB上做等边三角形，得到新的顶点D；见上图。仔细一想，“画方”会多花费一条边。由此，等边三角形更合“法”。

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这里有一个问题：如何知道要去画等边三角形，而不是做别的事情？推测有两方面的理由：一曰“向前求法”，二曰诉诸“操作集”。后者是指，几何原本中的基本操作 {连线、画圆、做延长线}。“向前求法”大概是这样，早先出现的命题，至少有一个要在当前命题中用到。对于命题1.2而言，之前只有命题1.1，即“在已知线段上做等边三角形”。

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其实也可以这么想，命题1.1归根到底也出自操作集，只不过更有组织性，像“分子”（也象“子程序”）。而操作集中的每个操作都是“元操作”，就像原子一样，不能再分割为更小的操作。可以认为，原操作等级较低，而命题等级较高。两者有点像字母和单词的关系。第二步似乎是出于这种考虑：既然AB是新出来的，下一步应优先考虑应用命题1.1，而不是操作集，因为前者等级更高。

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第三步怎么走？此时新得到一个顶点D，以及两条边，就得拿它们做点事情 —— 在这个事情中，这三样东西都得参与进去。首先排除命题1.1：因为点D是新出来的，而A和B是旧有的，这跟走第二步时面临的情况有微妙不同 —— 那里的A和B是对等的。因此，只能到更底层的操作集。由于操作必须同时涉及三个事物（D、DA、DB），可以排除连线。以D为中心画圆也可以排除——虽然涉及了A和B这两点，也用到DA和DB的长度作为半径，但DA和DB并没有、也无法“在圆上”。原解：延长DA和DB。这个操作非常巧妙，三个事物(D、DA、DB)都“在”延长线上。

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这里看出，《原本》中似乎蕴含着没有说出的(暗)原则：上一次操作的后果包含在下一次操作的后果中；每个后果都会启动下一个操作直到求解完毕。这大概就是“暗知识”。

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现在，得到了两条延长线D(A)E和D(B)F，括弧里是中间经过的点。用它们能点做什么事情？（事后看，这两条延长线准备了“空间”，用于中转和接收BC）。为了走出确定的下一步，还得来个(暗)原则：延长线的用处是与圆发生交点；有多条延长线时，后出现的先做事。按照这个原则，即希望画圆与D(B)F相交。这样，要在点D和点B中选一个做圆心。至于半径，现有的线段是等边三角形以及已知线段BC。似乎确定不了。。。

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忽然，我想到另一个(暗)原则：画圆是为了“转移/传输”或“复制”线段。于是，延长线D(B)F上期待的交点应该关联“复制BC”这件事情。这样，只有选B为圆心，BC为半径。于是，画圆，得到交点(记作G)。显然，BC=BG。这是第四步。

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第四步中的圆心之确定也可以这样考虑：上一次画圆后，圆规的静脚插在B处（参命题1.1）。可以辅助确认。这一步画出的圆，也会与另一延长线D(A)E相交，但交点看不出明显的意义，舍弃。这个当口，又想到一条(暗)原则（关于画圆）：眼前的任一线段，可以其端点作为圆心、其长度作为半径，画圆。

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第四步画圆后，得交点G，同时新增一条线段DG。要拿它们做点事情。另一方面，延长线D(A)E还等着与某个圆产生有意义的交点。于是，拿DG能做的事情只能是以D为圆心、DG为半径，画圆。此圆与D(A)E相交，得交点L。这是第五步。

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至此，得到的AL即为所求。（按之前的原则，上一次操作的后果包含在下一次操作的后果中：BC画圆后以BG的形式包含于后果中，而DG画圆后，BG作为DG的一部分，以AL的形式包含于后果中）。

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从上面看出，在《原本》中，线段的“复制”是通过画圆来实现的，而“复制”也可以用“转移/传输”的观点来替代（后者意味着一切都是唯一的，要想在别处出现，只能在“法”的约束下转移）。转移的观点更高明一些。在这道题中，前三步是为转移做准备，后两步则是执行转移。

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写了一大堆，初衷是察其“法”：画线(段)以及(用圆)转移线段；但在演绎的过程中，路径的选择，似另有其法（如所列“暗原则”），待考。《几何原本》值得研究，诸如：为何是这些命题而不是其它命题？可否基于少许原则，通过机器编程，自动生成《几何原本》？有无可能产生多个机器版本？是否存在更优的版本？等等。（近两年有时会考察或提及几何原本，但此次略深入些，暂归于“法”）。

注：记忆中，最初是在大学本科的课堂上了解到《几何原本》（1996？），但讲的什么内容全无印象。几年前(2011?)不知什么缘故买了一本，但直到前年(2016)才稍许阅读、略受启发。人们对于古书和权威的态度无外乎：初抗拒、后稍看、终大赞。