“路易，十三嗒。”

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最近意识到，从二次方程到三次方程，求解难度陡然上升，两者有天壤之别。如果不查资料、不讨论，可能绝大多数人都做不出三次方程的求根公式，甚或包括大部分数学专业的博士、教授（含哈佛、北大）？ 如果把一个三次方程写到黑板上，大部分学生可能会跑去查资料，然后“给你”一个答案。甚至，好多老师也会那样去做。这又有什么不对呢？

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问题就在于，人们似乎倾向于逃避真正的困难。印象中，二次方程的求根公式出现于公元前，而三次、四次方程的求根公式要到十六世纪才出现，两者跨越了2000年左右。尝试独立求解此问题，可以探测（古代）人的智商——它绝非出自等闲之辈。我估计一般的研究人员智商在120~140附近，若能解算出三次方程的求根公式，智商可能要到180左右。我想知道自己能否解开这道题。。。

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之前探索了一元二次方程，略受启发，我打算整理一下这几天的探索。一元二次方程的求解，可以概括为“归元法”。依照“元学”观点，最简单的非平凡一元二次方程具有形式：x^2=2，它是一种元模式。所有的元模式都是不可回避的。单从数学上讲，元模式应该具有“形”和“状”两个方面。比如，从 x 变化到x+2 或 2x，则视乎为“状”的变化，“形” 并没有改变。但从 x 变到 x^2，就视乎为“形”（上的）变化了。通常说的“形而上”，大概就是指这种变化。

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又，如果从x^2=2 变化到x^2=c，当然也是“状”的变化，但应该强调c不为零。这样的话，x^2=2与x^2=c在“形”上是等价的，可以视作“元形式”，或者简称为“元”。从元形式 x^2=c 出发，改变一下它的“状”，比如改成 (x+d)^2=c，然后展开它，得到：x^2+2dx+d^2=c。观察得知，d会影响到一次项和常数项，但不影响二次项。这个状的改变，可以给一个特定的名称 —— 平移。另一种状的变化是 (ax)^2=c，也即a^2x^2=c，这种改变可称作“伸缩”。这两种状的改变是在“形下”发生的。假如改为 x^2=c+d，或者x^2=cd，则可称为“形外的”变化，即没有对x进行任何直接的替换。从推导的角度看，x^2=cd 等价于元形式，而从a^2x^2=c也容易归为元形式x^2=c/a^2。总之，从元形式出发，伸缩和形外的改变不会影响一次项，后者与平移关联。

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上面还有一点没有提及，那就是x肩膀上的数字2，此数字可称作“形之状”，或“形状常数”。要搞“形而上”，就得打它的主意。根据以上的观察，很容易去想，可否从一元二次方程的一般形式出发，“归结”到它的元形式？为此，最好综合地考察一下“状”（形下和形外）的改变对元形式的改变情况。即考察 (ax+d)^2=(c+b)/e 或 (ax+d)^2=c/e+b。以后者为例，展开得：a^2x^2+2adx+d^2=c/e+b。可以看到，一次项关联着a和d（即形下的变化），而与形外的变化没有关联。 

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现在从一元二次方程的一般形式出发：fx^2+gx+h=0。为了归结为元形式，可以参照刚才的展开式作为过渡。首先，改写为 sqrt(f)^2x^2+gx+h=0。即a=sqrt(f)，g=2ad=2sqrt(f)d，h=d^2-(c/e+b)。由g的式子可以算出d=g/(2a)=g/[2sqrt(f)]，则c/e+b=d^2-h。于是有：sqrt(f)^2x^2+2sqrt(f)g/[2sqrt(f)]x+{g/[2sqrt(f)]}^2-({g/[2sqrt(f)]}^2-h) =0。前三项参照过渡展开式，得到：[sqrt(f)x+g/(2sqrt(f))]^2={g/[2sqrt(f)]}^2-h。两边开方，得：sqrt(f)x+g/(2sqrt(f))=+/-sqrt(g^2/(4f)-h)。于是，得到解：x=-{g/(2sqrt(f)) +/- sqrt(g^2/(4f)-h)}/sqrt(f)。进一步化简：x=-g/(2f) +/- sqrt(g^2/(4f^2)-(4fh)/(4f^2)) ，即：

x=-g/(2f) +/- sqrt(g^2-4fh)/(2f)。

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上面的推导有点麻烦，但它确实表明，从一般形式出发可以归结为改变了状的元形式，即从本质上“归元”了（即一般形式和元形式在“形”的层面等价）。主要的方法是对照系数法（借助元形式变化后的展开式作为过渡/桥接）。但三次方程的求解要困难的多，我感到它联系着一种“元技巧”，隐藏甚深，大大地超越了简单的对照系数法。对于三次方程，若求出一个根，则另外两个也能立即求出。但一般情况下，三个根“盘结”的极为紧密，好似一幅连环套，着实困难。假如谁不能独立解开三次方程，似乎就没有必要再做数学了——他/她只是站在更高的椅子上解二次方程罢了！

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作为娱乐，随便写一个三次方程（陆壹拾叁）：6x^3+x^2+x+3=0  也许你能解开哦~