8 物质波波函数Ψ(x, k)与概率分布函数Ψ(x)的映射关系

双4维复相空间中点(x, k)表示：k描述4维复空间微观客体自身的空间结构，x是此微观客体在4维实时空的位置。矢量K(k₁,k₂,k₃,k₄)表示微观客体在K空间某一具体存在形态，矢量x（x₁,x₂,x₃,x₄）则是同一具体存在形态在4维实时空的一个具体位置。微观客体在双4维复相空间(x,k)展示曲率（亦或物质场密度）变化的波动——物质波。

8.1 物质波波函数Ψ(x, k)与概率分布函数Ψ(x)的映射关系

双4维复时空中的微观客体，在K空间展示的是空间广延性，在x空间则表现为点粒子出现的概率。波动性与粒子性的关系，由双4维复时空中的波函数和实4维时空中粒子的概率事件间的映射来确定。

我们已经证明，波函数

 ψ（x,k）＝A(x ,k)exp{-i（k_·x－Et/ħ)}          

                   ＝A(x,k)exp(-ik^μ x_μ)                    

描述双4维复时空中的物质波。振幅A(x,k)是位置x和曲率k的函数,定态波函数有：     

     A(x, k) = A(x, k)

微观客体在4维实时空的波函数Ψ(x)满足薛定谔方程或者Dirac方程，它与双4维复时空物质波波函数的模A(x, k)有如下的映射关系^[11]：

A(x, k)=1/(2π)³∫_-∞^∞dxe^-ixkΨ^﹡[x－(1/2)x]Ψ[x+(1/2)x]

4维实时空概率密度,与双4维复相空间中物质波场的分布相关联。对振幅A(x, k)的积分运算中：

消去变量k，振幅A(x, k)映射到4维实时空，得到4维实空间概率密度

∫_-∞^∞A(x, k)dk=Ψ(x)^﹡Ψ(x)=︱Ψ(x)︱²= ρ_x（x）                （16）

ρ_x（x）是微观客体在实时空的概率密度分布函数。