5、双4维复时空的物质波

双4维复空间，复数波函数

ψ（x,y）＝u(x, y)+iv(x, y)

＝A(x,y)exp(-i y^μx_μ)                        （12）

波函数必须是解析函数，所以它的实部和虚部应满足Cauchy-Riemann条件：

▽_xu(x, y)=▽_yv(x, y)

▽_y u(x,y)=－▽_x v(x,y)

复数波函数振幅

A(x, y)=[ u(x, y)²+v(x, y) ²]^1/2

将式（12）中用y=k代换，即进入双4维复数时空，得物质波波函数

ψ（x,k）＝A(x,k)exp(-ik^μx_μ)

＝A(x,k)exp{-i（k_·x－Et/ħ)}                  （13）

在定态情况下，A(x, k)仅与三维空间坐标和三维曲率坐标有关，即

A(x, k) = A(x, k)，

k与势函数V(x)相关，微观客体的内在运动状态与微观客体受到的相互作用相关；物质波的振幅，是空间坐标与微观客体自身空间结构信息变化的函数。它满足如下微分方程

H(x, k)exp[i/2(∂^←_x∂^→_k－∂^←_k∂^→_x)] A(x, k)

=H(x, k)﹡A(x, k)=E A(x, k)                      （14）

H(x, k)为体系的经典哈密顿函数。这里*运算就是是Moyal乘积，定义如下：

F(x, y)﹡g(x, y)=F(x, y)exp[i/2(∂^←_x∂^→_y－∂^←_y∂^→_x)] g(x, y)

任何物理量F(x, k)在这个定态下的平均值可以写成

     F^-=﹤F﹥=∫_-∞^∞F(x, k) A(x, k)dxdk                    （15）

物理系统总体波函数波长可以通过广义的德布罗意关系式来定义^[6]。如何理解通过Dirac变换理论得到的其他表象中的波函数的物质性质，将是我们下一步的工作。