2）、复数球

量子力学波函数Ψ，由曲率球的旋转与运动形成，是双4元数复空间实坐标与复坐标的函数。复数可以在复数球上定义。以二维复平面为例，见图（1）。

                               iv

                                                                                                                                                                              u  

                                                                  图（1）复数球——黎曼球

图（1）中复平面

W=1/Z*=Ae^iθ=u＋iv                                     （9）

W*=1/Z=Ae^－iθ= u－iv                                  （10）

|A|²= u²＋v²                                              （11）

若复数Z=x＋iy=ｒe^iθ，因ｒ＝R，则A＝1/ｒ＝1/R＝k，R是微观客体的曲率半径，k=1/R是微观客体的曲率。

复数W=1/Z*=A e^iθ中，当ｒ→0，|Z*|→0，W→∞，是北极奇点；ｒ=0，|Z*|=0，W无定义。可以认为此时映射到复球外，成为实空间中的几何点。

而对应于微观客体，曲率半径（曲率）的演变是：R→0，k→∞；R＝0，K＝∞，是质点，正好与实空间中的几何点对应。复空间的曲率模型也演变成了实空间的质点模型。

在复空间，当0＜r≦r₀，k₀≦k＜∞时，对应微观客体0＜R≦R₀，K₀≦k＜∞，微观客体呈现为物质波；而物质波映射到实空间将呈现点粒子的概率分布。具体数学分析将在第五节、第六节讨论。

双4维复时空采用的是“非点粒子”模型，曲率k是呈现微观客体自身空间结构特征的基本要素，并可由此生成物质波。而原有的实时空、相空间采用的是“质点”模型；两个空间通过ħk=p，微观客体的曲率K映射到4维实空间中就成为“质点”的动量P。动量p是质点的运动属性，波函数纯粹是数学函数，相空间只是量子力学数学方法的新应用。本文的双4维复时空与原有的实时空的不同，导致了物质波与概率波的本质区别。

复数球内外映射的物理机制与意义还可理解为：从4维复时空非点模型映射到4维实时空，微观客体自身的4维K空间，通过曲率K→∞，紧致化为零维，成为4维实时空中的点粒子。微观客体自身的波动运动，也变成了微观客体的点粒子运动。