三、曲率波——物质波动存在形态的物理呈现

德布罗意物质波理论中，粒子不再视为质点，也不做质点的轨道运动，而是一个波动实体。为了揭示波函数如何描述这个波动实体，如何是曲率波，我们从爱因斯坦及德布罗意的两个基本公式出发。

P=h/λ  E = hν                    （1）

方程的左边P和E是微观量子客体作为质点所承载的动量和能量，方程的右边是与微观量子客体相伴生的德布罗意─薛定谔波ψ的波长λ和频率ν。方程（1）中，等号表明物质的“质点描述”与物质的“波动描述” 的等价性。现在要问，物质波是如何具体表达微观量子客体运动中自身空间几何特征变化的呢?

对于具有能量E、动量P的微观量子客体，一般采用能量的测不准量△E＝E，动量的测不准量△P＝P，对方程（1）作如下变形：

Pλ= h →Pλ/2π = ħ→P r= ħ→△P△x= ħ

E= hν→E/ν = h → E T= h→△E△t= h

讨论：

1）、上述演变中，因为r＝λ/2π，视λ为圆周，则r为此圆的半径。波长有空间概念，r为微观量子客体建构了一个可认知的“空间形态”。若定义R＝1/r为微观量子客体的量子曲率，则量子曲率：

R＝△P/ħ＝P/ħ                    （2）

微观量子客体的动量定义了它的量子曲率。量子曲率是量子客体自身空间几何形态弯曲的量度，曲率的大小表现微观量子客体的粒子性，曲率及其相位的变化则可体现波动性。可以证明，量子力学中物质波波函数的振幅及其相位中均可分离出量子曲率R（见《从相互作用实在到量子力学曲率解释》武汉出版社2008，附录439-449），量子曲率R是对物质波振幅的抽象。物质波呈现“有形量子”自身空间结构的波动存在形态。

2）、1/ν＝T，ν是德布罗意─薛定谔波的频率，T是此波的周期。如果我们取△E＝E，E是微观量子的能量，那么，T也就是产生“微观量子”能量E的积累周期，它是过程量。一个微观量子客体自身的形成是连续过程，构成连续物质波场，但原子中能量En和动量P n并不连续，能级之间是突变断裂的。这正好对应本征态ψ n自身的连续性和态与态之间的突变性。当态与态之间动量、能量的突变性消失时，态之间相互作用的突变性消失。量子态也由∑求和演变成∫求和。

3）、现在我们得到一个以量子曲率R为模，描述微观量子客体自身“非点粒子”空间结构特征，周期变化着的、复平面上曲率R的“旋转振子”。当微观量子在时空中运动时，“旋转振子”在实、虚轴上的投影振动，伴随相位的变化，形成运动方向上的波动叠加，这就是我们所称的曲率波。曲率波是物质波的具体物理呈现。它就是大家熟悉的德布罗意—薛定谔波。

ψ= Rexp[－（i/ħ ）(P x－E t)]              （3）

ψ总是与微观量子客体联系在一起的，式（3）是德布罗意物质波实函数的复数变形，与玻姆单粒子物质波的形式一致，但赋予了ψ明确的物理意义──曲率波。曲率的大小表示粒子性，粒子运动中曲率R在复平面上的旋转振动及运动中波动相位的变化，演示波动性。

可见，物质波场的运动形态必须采用曲率模型而不是质点模型。

若把量子曲率R构成的物质场称作曲率场，则物质波（曲率波）是曲率场结构变化的波动表达。这类似于电磁场是一种物质场，电磁波是电磁场能量变化的波动表达。量子场论中，二次量子化把波函数ψ象电磁场一样作物质场处理，并非纯数学函数，依据也就十分自然。这对曹天予的结构实在论综合版本也将构成有力支持。

其实，我们还可以从德布罗意推导物质波表达形式的过程理解波函数是曲率波的物理意义。

德布罗意推导物质波表达形式时，假设在惯性系K′的原点有一静止质量为m0的粒子，并且静止“粒子内部”对应有一个振动[9]。

ψ＝Asinω0t0                      (4)

其中ω0＝2πν0，ν0＝m0c2/h，由于m0c2不可观察，这个振动也不可观察，作为波源当然也不可观察，但它是实在的，正象我们承认m0c2的物质实在性一样。而静止“粒子内部”的假设，实际上已是对经典点粒子模型的修改。

K′系建在粒子上，x0 ,t0是K′系的时空坐标；x ,t是K系的时空坐标；粒子运动前惯性系K、K′系原点重合，且y0、y，x0、x重合。

假设坐标系K′（粒子）相对于K沿x轴正方向以速度v匀速运动。根据相对论洛伦兹变换，有

t0＝(t－vx/c2)(1－v2/c2)-1/2                           （5）

将式（5）代入式（4）得：

ψ＝Asinω0(t－vx/c2)(1－v2/c2)-1/2        (6)

令        ω＝ω0(1－v2/c2) -1/2，ν＝mc2/h ，vp＝c2/v ，m为运动质量，

则式（6）变为

ψ＝Asinω(t－x/ vp)                    (7)

式（7）刚好表示沿x轴正方向传播的自由粒子物质波。狭义相对论质量m = m0 (1－v2/c2) -1/2效应，转化成物质波频率ν0→ν的变化，而动量m0c、mc、mv则定义了物质波各自的波长：h/m0c、h/mc、h/mv。令式（7）中A＝R，考虑到动量与波长，能量与频率的关系，式（7）回到式（3）。

式（7）中，x轴上各点物质波ψ的相位，在时刻t相对原点（x=0）滞后的相角是

                      α＝ωx/vp＝ωvx/c2                   (8)

由式（8）可知，如果粒子不运动，V =0 ，则 α=0 ，粒子还原为“内在的振动”。 显然，静止“粒子内部”对应的振动正是前面假设的波动描述中的曲率振子。

自由粒子物质波ψ的相位变化依赖于粒子的运动速度v（或坐标系K′的速度）。若V=0，仅有一个“内在的振动”；若V≠0，并将K′系中的时空属性向粒子自身回归，就可建立起相对论物质波的表达形式，体现运动粒子自身时空特征的变化。粒子做匀速运动，点粒子的分布是等概率的，其平面波则是曲率柱面(底面r＝R)上的等距螺旋线；粒子做变速运动，“波包内”点粒子的分布将不是等概率的，除R变化外，绕线波也将不均匀，物质波则是曲率锥面(或台面)上的非等距螺旋线[10]。

上述推导表明，物质波是将建在运动粒子上坐标系K′的时空属性，还原为粒子自身时空特征的产物。这是物质由粒子存在形态向波动存在形态的转化。粒子是实在的，物质波（曲率波）当然也应是实在的。微观客体有了可理解、可追寻的波动研究对象。

物质波描述中，粒子是一个宏观经验上不可直接观察的波动实体。点粒子的时空坐标，成了物质波的自由变量，物质波是与空间背景相关的。物质波将微观量子客体的物质性与自身时空特征融为一体。既没有脱离物质的时空，也没有脱离时空的物质的哲学观念[11]，在微观量子客体自身有了确切的物理表述。