p_0·r=0       则

                                    （7.１４）

式中p ₁ = mv ，E_c= mc² ,(7.14)式正是狄拉克相对论自由电子波波函数。可见狄拉克平面电子波亦是曲率波。?

令（7.１３式中）

           R_c=a₁R₀

                   _则

ψ_c=ψ₁ ·ψ₀

?

                  (7.１５)?

ψ₁ 的波长、频率分别是

 λ₁= h/ mv，v=E_k/ h

E_k是电子相对论动能， p₁= mv是相对论动量。而以λ₁为园周长的园的半径?

?

故        ?

?

现在讨论R_c= mc/( h/2π) , R₀= m₀c/( h/2π) ，R₁= mv/( h/2π) 之间的关系。由此确定ψ₁的系数 a₁。?

将（7.１０）式两边同除以 得?

R_c² = R₁² + R₀²                （7.１６）?

由于         ?R_c=a₁ R₀

                      a₁= R_c/ R₀

故 

                        （7.１７）?

令（7.１７）式中

                m= m₀ 、p₁= m₀v   E_k=1/2m₀v² （m_０为静质量） 则，R_c= R₀ ，p₁= p，?

故                

                  （7.１８）?

（7.１８）式正是薛定谔自由电子平面波。它是ψ₁的经典极限。如果对（7.１８）式再进行箱式归一化处理，即得?

?

这里R=p/( h/2π)、B=1/2πn , R具有曲率量纲.薛定谔平面电子波也是曲率波。

此时的曲率半径?

它相当于波长λ= h/ p作为圆周长的圆的半径，曲率 R也即为此圆的曲率。

桂起权和吴新忠认为,对康普顿物质波的上述分析,揭示了康普顿物质波比德布罗意物质波更加基本。

3 .康普顿平面物质波曲率解释中的测量问题

1) .静态康普顿物质波的观察效应?

对于静止的电子，德布罗意实际上只假设了与电子对应的一个“振动”，振动的频率是υ₀= E₀/ h                   ?

这与我们假设与静电子对应一种物质波不相矛盾。因为康氏静态物质波?

?

中 p₀·r=0，即动量p₀= m₀c在空间方向上的投影等于零，康氏静态波（动量）在三维空间方向上没有作用效应，波的传播观察不到。此外，在狭义相对论中，爱因斯坦用以观察的信号是光，而康氏波的传播速度是光速，与光同速同向的事件，光信号是观察不到的。这正是设定p₀·r=0的物理原因。在实际构造可观察的波函数时，人们总是把动量mv （物体运动方向）与位移r的方向选择一致，人类观察到的物体自身的空间特性的形成总是在动量作用的方向上。由动量三角形和曲率三角形可知，mv 和r 是动量mc和曲R_c 在三维空间上的投影。目前物理学家们把粒子静态康氏波长 λ₀/2π作为粒子静态时的线度，那是理论上的约定。但从实验测量的结果看，理论约定值与实验值吻合得较好。这为我们认定物质波是曲率波提供了实验依据。?

2) .康氏动态物质波的观察效应。

?  由于电子的康氏静止“动量”p₀ 、运动“动量”p_c ，相对论动p₁之间构成了一个直角三角形，p_c= p₁+ p_0。                  

p_c与 p₀构成了一微小的偏角，而p₁ 与电子运动的空间位移 r方向一致（实际上p₁ 是p_c 在r方向的投影），因此p_c通过p₁ 在空间方向上产生了电子的波动观察效应。由p₁构成的物质波是可以观察到的。当 m=m₀时,观察到的是薛定谔物质波；m≠m₀ ,则由p₁ , E_c构成狄拉克物质波，它也是一个可观察效应。但这两个物质波的波长都不能代表电子的线度，它只能给电子线度的变化作出贡献，因为电子的真实线度应由康氏“动量”p_c决定。 p₁只是p_c在空间方向上投影，而另一个垂直于空间方向上的投影就是p₀ 。由于 p₁产生的物质波波长不反映电子的真实线度，而是“影像”，因此薛定谔物质波波长λ/2π不能简单看成电子的球半径。但是，它又与电子球体球面曲率的变化有关，而且电子真实线度的变化也主要依赖于p₁ 的变化，因为p₀是一个不变量. 曲率的变化由方程?

R_c²=R₁²+R₀² 

决定。上述方程中Ｒ_c依Ｒ_１的变化而变化。曲率的大小表示电子的粒子性，而曲率的变化表示粒子的波动性。电子波是电子空间特性变化产生的观察效应，表示可观察和不可观察的程度。我们称其为“可视度”。这就是电子波的真实意义。

原子中,由于相互作用的非连续性,独立相干波源的存在,物质波具有相干性;而连续作用的产生,突变性消失,独立相干波源不存在,相干性消失。波函数也由纯态转化成混合态。

3). 量子力学曲率解释中平面波的意义

?  量子力学几率解释中平面波 |ψ|²的意义是指电子在空间任何地方出现的几率相同。在量子力学曲率解释中，平面波 |ψ|²的意义是这样理解的：任何一个粒子（自在实体），比如电子，我们只有在相互作用中才能发现它，也就是只有在电子由静到动或由动到静的动量变化中才能发现它是什么形象。曲率解释中，因为 |ψ|²与电子空间形象——曲率相关，对于自由电子，由于没有力作用于电子，因此电子的空间形象在自由飞行中无以表现。电子的动量，正是电子由静到动或由动到静，在相互作用中由动量差△p 形成的。这就是说，自由电子在时空中的形象只能是电子自由飞行前那一刻的形象。电子自由飞行时的“形象”(曲率)是不变的。由曲率和几率的对应关系，曲率不变，几率当然也相同。这就是 |ψ|²＝常数的物理意义。由于电子自由飞行时，没有力作用在电子上，没有反映电子形象的光学变化，即什么也看不见，我们不知道电子是什么样的，也不知道电子在哪里。这就是自由电子平面波的意义。我们要想知道电子在哪里，只有对其再次施与力的作用才行。

   如果自由电子在讨论的问题中，其形可以忽略不计，电子波消失，电子回到宏观经典力学讨论的范畴，电子成了宏观的质点。

   结合第四章对平面波归一化方法的讨论，我们发现对电子的描述根据不同的环境，分别分成四个不同的层面：一是在讨论的问题中，电子的形不能忽略，而且“形”可变，本征态之间可以突变，电希尔伯特空间每一基矢上均有概率分布。这时粒子是虚的(鬼粒子)，波是实的，波和粒子同时是物理实在。此时,有独立的相干波源,态的叠加形成物理上的相干性，构成纯量子态。原子内部、无限深势阱、线性谐振子、双缝等中的电子就适合这一情形。二是在讨论的问题中，电子的形不可忽略，但基准曲率不变，这就是单色平面波；δ 函数归一化，类似量子测量,电子与宏观的质点对应，粒子是实的，波是虚的。波就是爱因斯坦的鬼场。粒子和波仍同时是物理实在。三是量子测量中连续作用的介入,突变性消失,形成连续谱,不存在独立的相干波源,相干性消失，纯量子态变成混合态。四是在讨论的问题中“形”可以忽略，只有粒子性而无波。电子变成了宏观的质点，只有质点是物理实在，这就是经典力学中的经典态。