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群论提纲

已有 12046 次阅读 2009-9-22 21:51 |个人分类:群论|系统分类:科研笔记

               第一章 引言:对称性与群
1 操作,不变,对称
2 物理中的对称性
  2.1 经典理论
     2.1.1 相对性原理
          伽利略的相对性原理;爱因斯坦的相对性原理;爱因斯坦的广义相对性原理;相互作用的规范理论
     2.1.2 对称性和守恒律
           Noether定理;守恒量(运动积分)与动力学方程的求解;一个例子,地球围着太阳转:角动量和Laplace-Runge-Lenz矢量守恒
     2.1.3 对称性与相互作用
           由对称性出发确定相互作用
  2.2 量子理论
      Wigner定理;量子理论中新的对称性;对称性与谱结构;量子场理论中的对称性
3 对称性与群
    用群描述对称性;伽利略相对性原理与伽利略群;爱因斯坦相对性原理与洛伦兹群;Noether定理与群。地球围着太阳转的问题中的群与守恒量:SO (3)群与角动量,SO (4)群与Laplace-Runge-Lenz矢量;洛伦兹群的表示与物质场方程;规范相互作用的规范群;群与原子、分子的谱;群与基本粒子的分类;晶体的对称群。

                          第二章 群
1 对称性与群
  1.1 对称操作
     一个分立几何对称性的例子:正三角形
     一个连续几何对称性的例子:圆

  1.2 这就是群
     群的一个基于操作的定义
2 群,抽象群
    伽罗华和他的群
  2.1 数学结构
  2.2 群作为一种代数结构:抽象群
     三个群的例子:正三角形的旋转群,一个矩阵群,一个时钟数构成的群;它们都是群吗?它们同一个群吗?抽象化;抽象群的定义;更精确些的定义;Cayley的乘法表。
  2.3 更多的代数结构
     交换群;半群;亚群;交换半群;有单位元的半群;拟群;圈;groupoid。
  2.4 群元,生成元
     有限群的生成元;连续群的生成元。
  2.5 它们都是群
     运动群;转动群;伽利略群;洛伦兹群;晶体的点阵平移群;整数、实数和复数的加法群:Z、R+和C+;非零实数和复数的乘法群:Rx和Cx;四元数的Q8群;矢量空间V 中的所有线性变换构成的群GL(V )(GL(n,K));置换构成的群:对称群和它的子群置换群;分式线性变换构成的群。

3 群的分类

  3.1 这两个群相同吗?这两个群像吗?
     同构;同态。
  3.2 分分类
     有限群和无限群;分立群和连续群;拓扑群;李群。单群;单李群。Abel群(可交换)和非Abel群;循环群。有限群的阶和秩;连续群的阶和秩。
4 子群
5 群作用在集合上
    抽象群与变换群。
  5.1 变换群
     群作用在集合上:二元运算和单位元在作用中的含义;Cayley定理。
  5.2 群在集合上的可能的作用         

     左作用gm;右作用mg-1;共轭作用gmg-1
  5.3 轨道
     过集合中一点的轨道;例子:二维旋转群在二维欧氏空间中的轨道;三维旋转群在三维欧氏空间中的轨道;空间反射群的轨道。轨道不是重合,就是不相交。传递:只有一条轨道。例:二维旋转群在一个圆上传递;平移群在整个空间上传递。
6  群作用在群上:群作为群的变换群
  6.1 群作用在自身上
    6.1.1 左作用和右作用:重排定理
           重排定理;群左、右作用在自身上只有一条轨道,是传递的。
     6.1.2 共轭作用:共轭元素类
           共轭类
  6.2 子群作用在群上:左陪集,右陪集
     左作用,右陪集;右作用;左陪集。陪集与陪集,陪集与子群间没有交集。Lagrange定理。
  6.3 群作用在它的子群上:共轭子群,不变子群
     共轭子群,不变子群,中心;中心只有一个;中心一定是Abel的;Abel群的中心就是它自己。                                                                                                

7 群的商和群的扩张
  7.1 商空间
     7.1.1 等价,等价类
           等价;等价类;等价类之间没有交集。
     7.1.2 商:压缩一个集合
           如何压缩一个集合;商。
     7.1.3 齐性空间和商群
           轨道构成的等价类;齐性空间(G-齐性空间);群G在自己的G-齐性空间上传递(群G作用在G-齐性空间上只有一条轨道);商群。例:欧几里德群和Poincare群的商群。
     7.1.4 单群
           单群;单群分类定理。
  7.2 群的扩张
     扩张;群的扩张。
     直乘积扩张群扩张一定存在;直乘积扩张。
8 变换群
  8.1 线性群
      线性矢量空间上的变换群。
     8.1.1 一般线性群
           GL(V );GL(n,K);GL(n,C);GL(n,R)。
     8.1.2 典型群
           一般线性群的子群       

  复特殊线性群SL(n,C)和实特殊线性群SL(n,R)
  正交群O (n),O (m, n)与特殊正交群SO (n),SO (m,n) O (n)与SO (n)保二次型++…+;;O (m, n)与SO (m,n)保个二次型+…+--…-  。                                                                                                                                   

  幺正群U (n),U (m; n)与特殊幺正群SU (n),SU (m,n) U (n)和SU (n)保二次型++…+=++…+;;U (m,n)和SU (m,n)保二次型---…-+++。                                                                                   

  正交群SO* (2n)    SO* (2n)保反厄米二次型(-)+(-)+…+(-) 。                                                                                                                 

  复辛群Sp (2n,C),实辛群Sp (2n,R)和幺正辛群Sp (2n)                        辛群保双线性形式()+()+…+()。                    

  8.2 置换群
     8.2.1 对称群
           集合的全体置换构成的群。

     8.2.2 置换群
           对称群的子群;置换群。Cayley定理。
  8.3 置换群与线性群
9 表示
  9.1 置换群表示和线性群表示
     置换群表示;线性群表示;表示空间


                       第三章 群表示
1 群的线性表示
  1.1 线性表示,表示空间
      线性表示,矩阵表示,表示空间。正三角形对称群的几个具体表示。
  1.2 忠实表示
      同构和同态,忠实表示。
  1.3 等价表示,幺正表示
      有限群的任何一个表示必与某个幺正表示等价。
  1.4 可约与完全可约表示,不可约表示
     1.4.1 可约和不可约表示
           表示空间的不变子空间,可约表示,不可约表示。
     1.4.2 可约和完全可约表示
           完全可约表示,所有的有限维幺正表示都是完全可约的。
2 不可约表示的性质
  2.1 Schur引理
      Schur引理。
  2.2 正交关系
     不可约表示的正交关系。正交关系的意义:群空间中不可约表示矢量的正交归一性。
3 群表示的特征标
  3.1 特征标的引入
      特征标的定义,特征标是共轭元素类的函数                                                                    

  3.2 特征标的性质
     3.2.1 正交关系
          不可约表示特征标的内积||正交归一关系。直和表示和直乘表示的特征标。
          定理:内积()为中包含的的个数。
          定理:() = 1当且仅当代表不可约表示。
          定理:有限群的不等价不可约表示的个数等于群的类数。
     3.2.2 正则表示
          正则表示的特征标,正则表示和群代数。直积群的表示。
          定理:正则表示中各个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维数。
          定理:有限群的所有不等价不可约表示的维数的平方和等于群的阶:。       

4 连续群的表示
  4.1 紧群
     紧群与非紧群
  4.2 连续群的表示
     紧群表示的性质与有限群类似。
5 有限群举例
    Cn群,Cnv (Dn)群,Cnh群和Dnh群,对称群Sn
6 物理应用举例
  6.1 系统状态按照对称群的表示分类

     几何对称性和动力学对称性,在对称操作下系统的每个状态都是按照对称群的某个表示变换的。
  6.2 正则简并和偶然简并
     正则简并,偶然简并。
  6.3 对称和非对称微扰
     在对称微扰下,系统能级简并的消除只可能出现在偶然简并能级上,而非对称微扰则可能导致正则简并能级的分裂。
  6.4 跃迁的选择定则
     选择定则给出哪些跃迁是不可能的,这完全是对称性的要求。
  6.5 守恒律
     对称群与守恒量。

                   第四章 晶体的对称性
1 晶体的对称变换群
    平移群,点群,空间群。                                              

  1.1 平移群
     平移群是空间群的不变子群。平移不变性对点群操作的限制。
  1.2 晶格点群
     简单空间群和非简单空间群,晶格点群中的旋转轴。
2 晶格点群
    32种晶格点群:Cn群,Cnh群,Cnv群,Sn群,Dn群,Dnh群,Dnd群,包含多个高次轴的点群。
    同构的晶格点群。不同晶系晶体的对称性。
3 应用举例
  3.1 Bloch定理
     平移不变性,群作用在函数空间上,平移群的不可约表示,Bloch定理,能带。
  3.2 介电常数张量
     介电常数张量有几个独立分量完全由晶体的对称性决定:当系统的对称群为C2h时,介电常数共有5个独立分量;对六方晶体,介电常数只有两个独立分量;对立方晶体,介电常数只有一个独立分量,可以表示为一个标量。


                      第五章 对称群
1 对称群的基本性质

  1.1 定义
      对称群Sn是n个物体的所有置换变换构成的群,群元的乘法规则。
  1.2 轮换
      轮换,配分数。
  1.3 对换
      任一轮换必可表示为对换的乘积。近邻对换,对称群的生成元。
  1.4 置换的奇偶性,交错群
      偶置换和奇置换,对称群的不变子群——交错群An
  1.5 共轭元素类
      对称群的共轭元素类按照配分数来划分。
2 对称群的表示
  2.1 不可约表示,杨图
      对称群的不可约表示标记为用配分数标记,杨图。
  2.2 不可约表示的特征标表
      构造一个具体的表示并计算其特征标表。对称群不可约表示的特征标均为实数。  

  2.3 不可约表示的维数,杨表
      2.3.1  Sn的表示作为Sn-1的表示
             Sn群的不可约表示按照Sn-1群不可约表示的分解,图形规则。
      2.3.2  不可约表示的基
             杨表,正则杨表,对称群不可约表示的维数。
      2.3.3  对称和反对称表示
             对称表示[n]和反对称表示[1n],对称和反对称投影算符。
3 内积——不可约表示的直乘
    共轭表示,对称和反对称表示的构造。
4 外积
    外积分解的图形规则。



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