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第一章 群论简引
1 群,作为一种代数结构
定义,稍做改进的定义,交换群,半群(semi-group),亚群,交换半群,有单位元的半群(monoid),拟群(quasi-group)(左商律和右商律),圈(loop),groupoid。
1.1 各种群
按照不同方式对群分类。
抽象群:有限群和无限群,分立群和连续群,Abel群(可交换)和非Abel群(不可交换),循环群。
具体群:置换群,线性群,旋转群。
1.1.1 变换群
Cayley定理。
1.1.2 置换群
Cayley定理。
1.1.3 线性群
1.2 群元,生成元
1.3 群的特征
阶,秩。
1.4 这两个群相同吗?
同构,同态。
1.5 子群
平庸子群,陪集(左陪集,右陪集),不变子群(正规子群),循环群,中心化子(center),正规化子。
1.6 商群
压缩(注意,不是分解),商群。
1.7 单群
群的基元,不可压缩的群,同态压缩,没有不变子群的群(单群),单群分类定理。
2 表示
表示(同态),平庸表示,忠实表示(同构表示),变换群表示。
2.1 置换群表示和线性群表示
2.2 一般线性群
一般线性群GL(V ),n维复线性矢量空间上的一般线性群GL(n,C),n维实线性矢量空间上的一般线性群GL(n,R),线性群表示的维数,矩阵群。复一般线性群GL(n,C)的不同的子群:实一般线性群GL(n,R),复特殊线性群SL(n,C),实特殊线性群SL(n,R),幺正群U (n),特殊幺正群SU (n),正交群O (n,C)和O (n,R),特殊正交群SO (n,C)和SO(n,R)。
2.3 群的不变量与度量,由不变量来构造群
不变量。
保++…+的O (n)和SO (n),
保+…+++…+的O (m,n)和SO (n),
保++…+=++…+的U (n),
保---…-+++的U (m, n)和SU (m, n),
保(-)+(-)+…+(-)的SO*(2n),
保()+()+…+()的辛群Sp (2n,C) 实辛群Sp (2n,R) 幺正辛群Sp (2n)。
2.4 各种群之间的关系
2.5 连续矩阵群
连续矩阵群,连续群的维数,各种矩阵群的参数个数。
3 拓扑群,李群:同时也是拓扑空间和流形的群
代数结构,拓扑结构,微分结构。作为群、拓扑空间和微分流形的李群。
3.1 拓扑空间
拓扑,相邻关系,拓扑空间。定义拓扑空间的两个途径:开集和邻域(本质是开集)。开集,一个离散的拓扑空间的例子。邻域。附加额外的条件的拓扑空间:Hausdorff空间,度量空间。
3.2 拓扑群
同时满足群公理和拓扑的集合。保持相邻关系的群运算,连续性。
3.2.1 拓扑群的子群,拓扑子群和不变拓扑子群
3.2.2 两个拓扑群同构
3.2.3 拓扑群的整体性质:连通性,同伦
连通性,局部连通,单连通,多连通,同伦,同伦类,连通度。
3.2.4 基本群
基本群(同伦群),两个道路的乘法,弧连通空间中不同点的基本群同构。
3.2.5 覆盖,Hausdorff空间,通用覆盖空间
覆盖,Hausdorff空间,子覆盖,有限子覆盖,开覆盖,通用覆盖空间。
3.2.6 紧,紧化
紧致性,Heine-Borel定理,局部紧,紧化。
3.3 李群
同时具有群结构和微分结构的集合李群的拓扑结构(整体性质)局部性质李代数覆盖群
3.3.1 李群的定义
希尔伯特第五问题。
3.3.2 连通性
叶。
3.3.3 覆盖群,通用覆盖群
一个多连通群总有一个唯一地通用覆盖群。
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