我们首先证明，如果一个数可以表示为两个不同数的平方和，则其平方也可表示为两个数的平方和。

证明如下：

设c=a^2+b^2，则c^2=( a^2+b^2)^2=( a^2-b^2)^2+(2ab)^2。

其次证明，如果一个数的n-2次方(n>2)可以表示为两个数平方和，则其n次方也可表示为两个数平方和。

证明如下：

设C^(n-2)=A^2+B^2，则C^n=C^2*C^(n-2)=C^2*A^2+C^2*B^2=(C*A)^2+(C*B)^2。

由证明二可知，如果一个数可以表示为两个数平方和(n=1)且其平方(n=2)也可以表示为两个数的平方和，则其任意正整数次方(n为任意正整数)都可以表示为两个数的平方和。而证明一表明，只要这个数可以表示为两个不同数的平方和，则其平方也就可以表示为两个数平方和。

结合起来，就证明了一个数如果能够表示为两个不同数的平方和，则其任意正整数次方也能表示为两个数的平方和。

（注：此证明是我的两个博文“一个数的任意次方都可以表示为两个数平方和的规律”和“一个数的任意次方都可以表示为两个数平方和规律的证明”的整合。）