最近在赵明姐和昌松兄指导下完成了一篇同步方面的论文，自己还比较喜欢，简单宣传一下。

 

众所周知，在主稳定方程下，同步能力可以用耦合矩阵的特征值比来衡量（直接用单个特征值衡量的方法小帆老师和陈Sir有讨论），这里的同步能力是指在多大的参数范围内将动力系统从同步流行中微扰一下，还能回得去。至于回去要多长时间，讨论较少。当然，特征值比显然并不能完全刻画同步过程！一个稍微non-trivial一点的问题是：整个特征值谱能够在多大程度上刻画同步过程？也就是说，两个网络如果其耦合矩阵具有完全相同的特征值谱，它们的同步行为完全一样吗，还是有可能差异很大？？

 

其实这个问题Nishikawa和Motter已经有过很漂亮的讨论。他们在06年的一篇Physica D论文中证明，对于一般情况下不可对角化的矩阵，当其特征值比为1的时候（这个时候，从主稳定方程的角度讲，同步能力最强），同步时间可能很长。有多长呢？可以证明是一个多项式时间，其阶数取决于若当分解后若当标准块的维度（这个证明看起来很复杂的样子，其实并不是很困难）。但是，光是这个玄而又玄的结论，并不能把网络结构和同步时间联系起来。去年，Beom Jun Kim发了一篇PRL，讨论了方向性对同步的意义，也是属于非常相关的工作。

 

我们的工作很简单，首先是从数学上进一步更清楚严格地给出了得到主稳定方程下具有最优同步能力的谱的耦合矩阵所对应的网络结构的两个条件（论文中只给出了充分性证明，因为是物理论文，风格上是按照故事情节自然展开叙述）。我们把这种“最优的”网络称作有效网络（effective networks）。然后我们给出了从一般的无向网络中抽取出有效网络的方法，这种方法有趣的地方在于，给定一个网络，可以抽取出很多具有完全相同的特征值谱但是结构非常不一样的若干网络。在这个基础上，我们就可以研究网络的结构对于同步时间的影响，包括网络的深度（因为有严格的层次结构）、纵向边和横向边等等。其中关于纵向边和横向边的讨论很有趣味。

 

当然，我们的研究还很不完整，一些结论还不严格。但是我觉得这个问题本身是有趣的。所以希望能够引起大家的关注。

 

文章很快在《新物理学》发出来，发出来以后我会更新。

 

Tao Zhou, Ming Zhao, Changsong Zhou, Synchronization on Effective Networks, NJP (to be published).

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