阿波罗网络这个话题太老了，记得最早04年的时候在杭州参加郑波老师组织的第一届国际模拟物理会议上就讲过这个问题。那个时候还是本科生吧，现在已经老得不成样子了。

 

原来漫谈2是准备说点其它问题的，突然转到阿波罗网络上来，是因为最近搜狐的一则新闻（见链接）报导了一个可爱的艺术家，吉姆·德内万，在美国内达华的沙漠上造出了比曼哈顿面积还大的阿波罗图。而这个图和05年严钢、汪老师和我发表在PRE上面的图1一模一样（这个图更早是剑桥小组绘制的）。我不知道各位是否有类同的经历——见到和自己曾经研究工作有关的事务被放大一亿倍后作为地球的一种标志，虽然知道自己对此无任何贡献，也不免有点高兴。

 

阿波罗网络其实很简单，就是初始的时候一个三角形，然后在这个三角形里面添加一个新节点，这个新节点和三角形三个顶点相连。这样就成了有3个三角形，下一步再在三个三角形内部各添加一个点，这三个新节点各自再和相应三角形的三个顶点相连。依此迭代，可以得到无穷大的自相似的阿波罗网络。在附图中，如果把每一个圆的圆心看作一个节点，相外切的两个圆之间连一条边，就构成了阿波罗网络。阿波罗网络同时是小世界、无标度和自相似的，具有很多非常优美的数学性质（但是和真实网络很不一样）。关于阿波罗网络的研究论文最早由Herrmann小组在PRL上面发表（见链接），到现在短短4年，就有了超过100次的引用。

 

严钢看到Herrmann的结果（04年在arXiv上面看到），很感兴趣，想和我一起合作研究上面的传播动力学。遗憾的是，我们发现，阿波罗网络规模是指数增长的，因此看不到动力学的某些性质随网络规模增长的变化。而且，阿波罗网络的度分布指数和BA模型不一样，不便于我们和已知的结果比较（那时候我和严钢都是本科生，很傻很狭隘，不知道有Configuration Model什么度分布都能搞定，所以说一旦度分布不是3，就傻定住了）。因为这个原因，我们提出了随机阿波罗网络模型，每次新加一个节点，在可能的三角形中随机选择一个。这样生成的网络和BA度分布一样，但是簇系数很大，另外也保持了很多阿波罗网络的数学性质。当时没有想到，这个模型还会得到比较广泛的关注。很多同行以为随机阿波罗网络主要工作是我完成的，实际上我和严钢贡献没有先后大小之分（当时我们合作了数篇论文，都是互相做第一第二作者，现在有三篇引用都超过50了），因为严钢很少讲这方面的工作，大家就更不清楚他的贡献了（从科学的敏感性来说，应该是严钢首先注意到了阿波罗网络是非常有趣和有价值的问题，在他的影响下，我完成了主要的编程和计算工作）。这种只认可第一作者的错误，不利于真正的亲密合作的开展，我这里说的不是一个特例，而是一个现象！

 

我和严钢也没有想到后来这个问题会有很多数学家参与进来。可能因为这样的网络是他们能够处理的比较喜欢的模式吧。下面是我08年给共青团中央上缴的事迹报告中关于随机阿波罗网络的部分“该工作受公元前古希腊数学家提出的阿波罗问题的启发，建立了一个简单优美的数学模型，可以再现真实演化网络的小世界效应和富者越富效应。该模型由于其简单性和优美性，一提出就受到了广泛的关注，不仅是物理学家，很多数学家也研究了该网络的高维情况，拓扑等价类，并计算了此网络的平均距离，度度关联强度，谱密度等特征。文章中提出的证明演化网络具有小世界效应的数学方法与近似求解簇系数的解析方法得到了广泛的应用。做为一个标准的网络平台，很多直接的后续工作讨论了该模型上的量子自旋动力学、随机游走、粒子凝聚等物理过程。文章05年在《Physical Review E》发表后，引用至今达66次，在2005年该期刊发表的2590篇论文中排名第3，是05年网络科学研究中最具影响力的理论模型之一。”因为是事迹报告，写得有一些浮夸，大家不要见笑。现在阿波罗网络引用超过100次，随机阿波罗网络也有80来次，远远超过了我当时的预想。

 

那么，现在谁是国际上这个问题最精深的专家呢？复旦大学章忠志！

 

------相关链接------

 相关新闻 http://news.sohu.com/20091219/n269062869.shtml  

相关论文之

Herrmann小组的PRL http://prola.aps.org/abstract/PRL/v94/i1/e018702

严钢汪老师和我的随机版本 http://prola.aps.org/forward/PRE/v71/i4/e046141

 

图1：航拍的内达华沙漠中的阿波罗图

  

图2：阿波罗图和曼哈顿大小比较

 

图3：近距离拍摄的阿波罗图