作者 高关中（德国汉堡）2022/10/17

我们知道，初等数学研究的是常量与匀变量，17世纪以前的数学都是初等数学；而高等数学研究的是非匀变量，其中最基础、最核心的部分是微积分，微积分被认为是“变量的数学”的开始，而微积分就是由德国哲学家、数学家莱布尼茨（1646-1716）和英国科学家牛顿创立的。这里重点介绍莱布尼茨。

“一个千古绝伦的大智者”

1646年7月1日，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）出生于莱比锡。父亲是莱比锡大学的伦理学教授，在莱布尼茨6岁时去世，留下了一个私人图书馆。莱布尼茨很早便如饥似渴地阅读。他在尼古拉学校（Alte Nikolaischule，在尼古拉教堂北侧）上学。12岁时自学拉丁文，并着手学习希腊文。15岁时他进入莱比锡大学念书，攻读法律。17岁曾到耶拿大学学习数学和逻辑学。他在20岁那年递交了一篇出色的博士论文《论组合术》（De Arte Combinatoria），其中已含有数理逻辑的早期思想，表述了成为某些现代计算机的理论先驱的模型，因为年纪太轻（黑格尔认为是学识过于渊博）被拒。第二年年初，纽伦堡的阿尔特道夫大学（Altdorf，1575年创办，1809年撤销）授予他博士学位，但他并没有接受该校教授职位的聘书，而是去从政。

莱布尼茨在一次旅途中遇到了美因茨选帝侯（有权选举皇帝的诸侯）的前任首相。老首相对这位学识渊博、谈吐幽默的年轻人印象深刻。在他的诱导下，1667年莱布尼茨便去选帝侯门下供职，处理法律和外交事务。随后，26岁的莱布尼茨便被派往巴黎，在那里度过了四个年头。他幸运地遇到了荷兰来的数学家惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）。在惠更斯的悉心指导下，他研究了笛卡尔、费尔马、帕斯卡等著名数学家的著作，由于莱布尼茨的勤奋和天赋，当他离开巴黎的时候，已经完成了主要的数学发现，包括微积分。

由于美因茨选帝侯及其前任首相先后过世，莱布尼茨失去了经济来源，不得不离开了巴黎。他应腓特烈公爵之邀，1676年北上到汉诺威担任宫廷顾问兼图书馆长，同时为公爵撰写家史。此后40年，他定居在汉诺威。其故居（Leibnizhaus）是一幢尖顶老楼房，二战中被毁，战后照原样又重建了起来。1690年他还兼管沃尔芬比特尔（汉诺威东南70公里）的公爵图书馆（Herzog August Bibliothek），该馆系欧洲藏书最丰富的宫廷图书馆之一。

莱布尼茨晚年一度被五个王室——汉诺威-不伦瑞克、纽伦堡、柏林、维也纳和彼得堡同时雇佣。他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的。

1716年11月14日莱布尼茨因病去世，享年70岁。他一生未婚，死时只有秘书和车夫在场。死后安葬在汉诺威新城圣约翰教堂（Neustädter Hof- und Stadtkirche St. Johannis）里。

莱布尼茨是历史上少见的通才，全面的天才，堪称西方文明最伟大的人物之一，被誉为17世纪的亚里士多德，是那个世纪里最为博学的人，“一个千古绝伦的大智者”（罗素语）。他是一个古怪的精灵，每天都有许多新的发明等待着他。他的智慧在于以深邃的理性发现这个世界的秘密，给人们带来科学的惊喜。

我们可以用笛卡尔（René Descartes，又译笛卡儿，1596-1650）来与莱布尼茨作一比较，两人都喜欢旅行，只不过前者以军人的身份，后者则作为政客的幕僚；前者在驻扎异国时萌生了解析几何的思想，后者是在肩负外交使命时完成了微积分学的发明，而他们取得这两项举世瞩目的成就时都不到而立之年。

在哲学上，莱布尼茨提出“单子论”（Monade，作为世界基础的不可分的单子），他和笛卡尔、斯宾诺莎被认为是17世纪三位最伟大的理性主义（唯理论）哲学家。莱布尼茨的著作涉及逻辑学、政治学、法学、伦理学、历史学、语言学、教育学、图书馆学、物理学、地质学、生物学以至神学等十几门学科。

技术方面，他关注炼金术和机械发明。为矿井抽水机设计了一种风力发动机。他还是最早尝试制造计算器的人，改进了帕斯卡的加法器，设计并制造了一种手摇的演算机。

微积分学创始者

莱布尼茨在数学上成就更大，他和牛顿先后独立发现了微积分，开创了现代数学之路。他还发明并完善了二进制。莱布尼茨也是数理逻辑的前驱者。如今二进制和数理逻辑在计算机科学中有广泛的应用。

到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数——或变量间关系——的概念。紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。有了微积分，上述四个核心的科学问题便迎刃而解，甚至拓展了新的应用。

1684年，莱布尼茨发表了现在世界上认为是最早的微分学文献《一种求极大极小和切线的新方法……》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，仅仅6页，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。

牛顿和莱布尼茨发现了“微分和积分是一对互逆运算”这个惊天大秘密，正式宣告了微积分的诞生。这种算法的意义非常重大，标志着现代数学的开端。

历史上，关于微积分的成果归属和优先权问题，曾在数学界引起了一场长时间的大争论。事实上，他们两人是独立完成发明的（牛顿或许更早发明，但莱布尼茨发表在先）。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则。两人分别研究得出了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，从而建立了微积分学的基础。但莱布尼茨数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

在科学史上，莱布尼茨素以讲究符号著称。他认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。人们公认，在他所创建的微积分中，所运用的符号是优于牛顿的。他以d表示微分，以∫表示积分，这些符号在全世界延用至今。

微积分学的创立，奠定了近代数学和科学的基础，是继笛卡尔创立解析几何后数学界最大的突破。极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。正是由于这一发明，使得数学开始在自然科学和社会生活中扮演极其重要的角色。

研究二进制，与《易经》比较

莱布尼茨另一个重要的数学发现是二进位制，大约在1672-1676年间，他研究了二进制算术，古代早有五进制和十进制算术，这与人们用一只手或两只手的手指计算数目有关。后来有人提出四进制，使莱布尼茨受到启发，他想到仅用0和1这样两个数字符号同理也可以写出一切数，并对此作了研究。他用数0表示空位，数1表示实位。这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如，3=11，5=101。1679年莱布尼茨撰写了题为《二进制算术》(De L'arithmétique Binaire)的论文。文中对二进制算术作了详细的讨论，不但给出了用0和1表示一切数的规则，还给出算术规则，而且对二进制与十进制作了比较。当时他还未看出二进制算术的实用价值，他未曾想到，二进制会对200年后计算机的发展产生如此深远的影响。今天二进制是计算机科学的基础。电子计算机出现以后，使用电子管来表示十种状态过于复杂，所以所有的电子计算机中只有两种基本的状态，开和关。也就是说，电子管的两种状态决定了以电子管为基础的电子计算机要采用二进制来表示数字和数据。如今数字电子电路中，逻辑门直接采用了二进制，因此现代的计算机和依赖计算机的设备里都用到二进制。莱布尼茨还为数理逻辑的形成做了奠基性工作，也是最早尝试制造计算器的人。难怪人们把他誉为计算机的先驱者之一。

莱布尼茨是最早接触中华文化的欧洲人之一，他读过耶稣会写的文章和书信，也与一些到过中国的传教士交谈过，他对中国的看法很正面。他在1697年给在中国的意大利传教士闵明我（Claudio Filippo Grimaldi，1637-1702，为南怀仁助手）的信中讲述了他的二进制算术。1701年2月，莱布尼茨又把自己的二进制数表寄给在中国的法国传教士白晋（Joachim Bouvet，1656－1730，曾参与测绘《皇舆全览图》）。秋天白晋在从北京发回信中说到，他认为二进制数与中国《易经》中的六十四卦图的符号是有联系的，并将宋代邵雍(1012-1077)所制的六十四卦图，寄给了莱布尼茨。

莱布尼茨立即认真研究了这幅六十四卦图，他发现，图中的排列正是从0到63的二进制数字。他确认，中国人在三千年前的《易经》六十四卦里就藏匿了这个奥妙。1716年他发表了《论中国的哲学》一文，专门讨论八卦与二进制。在他眼中，“阴”与“阳”基本上就是他的二进制的中国版。然而二进制具有加减乘除运算，具有与其他进制的换算；而阴阳八卦根本没有加减乘除。因此，它们仅仅具有表面的相似，本质上是不同的。

莱布尼茨对古代中国的历史和宗教也有着深刻的研究，可以说他（先于伏尔泰）是第一个对中国文化真正感兴趣的西方大思想家。莱布尼茨认为古代中国的“礼”、“道”、“太极”等因素构成了支配宇宙的一种精神。

莱布尼茨对中国的文化极感兴趣也极为尊重。他没有来过中国，却被人们称为“中国通”。他对中国的研究，是通过两个途径：一是阅读有关中国的书籍；一是与欧洲到中国的传教士们直接交谈和通信。他51岁时，编辑出版了《中国近事》，在序言中写道：“我相信，这是命运的特殊安排。大概是天意要使这两个文明程度最高的（同时又是地域相隔最为遥远的）民族携起手来，逐渐地使位于它们两者之间的各个民族都过上一种更加合乎理性的生活……”

2006年，莱布尼茨诞辰360周年之际，德国顶尖理工学府之一汉诺威大学正式更名为汉诺威莱布尼茨大学。汉诺威乔治公园（Georgengarten）里建有纪念亭，称为莱布尼茨庙（Leibniztempel），表达人们对这位先贤的崇敬。