有趣的莫比乌斯怪圈

-华庆新-

    我知道莫比乌斯怪圈，始于六年前买的三本史蒂芬·霍金的书：《时间简史——从大爆炸到黑洞》，《胡桃里的宇宙》和《霍金的宇宙》以及BBC出版的六集介绍霍金的《A Brief History of Time》光盘。从远古的宇宙图像，包括‘盘古开天地’，到宇宙大爆炸理论；从爱因斯坦的相对论到宇宙背景微波辐射；从黑洞的发现到可能的星际迷航，我一边在云里雾里感觉宇宙的浩瀚，一边在150亿年的宇宙演化中感知人类的渺小和短暂。既惊叹霍金等科学家的惊人思索，也折服于精美的插画，那彩色形象的图像胜过千百言词。在霍金的书里，讲到时间机器、星际旅行，少不了涉及‘虫洞’，由常人难以想象到的捷径超‘短路’回到地球，或者回到祖爷爷的童年时代。看了这些，不能说自己多懂了些什么，但是不少人名和术语却也灌进了不少。其中之一，就是最近颇感兴趣的词：莫比乌斯圈。

莫比乌斯圈的发现

    德国数学家，天文学家莫比乌斯（August Mobius，1790～1868）困惑一道数学几何学难题：怎样在长方形的纸条上，用一种颜色，把整个纸条正反面抹成一种颜色。他头昏脑涨之余，到野外散步，一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了他脑中绿色的纸条。叶子弯曲耸拉下来，有许多扭成半圆形。他随便撕下一片，顺着叶子自然扭曲的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这‘绿色的圆圈儿’就是他梦寐以求的那种圈。莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯圈就这样被发现了，并以他的名字命名。莫比乌斯对几何学、拓扑学结构以及天文学都有重要贡献。这莫比乌斯圈有一个最令人著迷的性质：它只有一条边和一个面。下面就是以数学参数方程式描述的立体莫比乌斯带：

纸条拧出的莫比乌斯圈：剪一剪，试一试

图7. 圈3有不同的摆放方式，可以是十字花型如下图7左，或八字型如图7右。

图8 划四条线剪出五角星型（左），其实是两个周长2米的圈1，被周长0.5米的圈0套住（右）。

从莫比乌斯圈到克莱因瓶

    如果说莫比乌斯克圈是把二维纸条扩展到三维，那克莱因瓶就是从三维立体图像向四维进发。1882年数学家克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他名字命名的著名‘瓶子’：象球面那样封闭的曲面，但却只有一个面。如图9所示，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连，我们就会得到一个轮胎面。球有两个面：外面和内面。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，一只爬在‘克莱因瓶外’的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到‘瓶内’去，因为克莱因瓶并无内外之分！图9 玻璃克莱因瓶：

图9 克莱因瓶只有一个面，这一性质与莫比乌斯带很像。

    说了这么多莫比乌斯带和克莱因瓶，其实都是二维变三维，三维变四维。我们可以理解的四维，是三维立体加时间第四维。实际上在史蒂芬·霍金的理论里，他们推演到11维，而一般人看不到第四维，但高维确实存在。笔者专业是以核磁共振测定生物大分子三维结构，要用三维以至四维核磁共振。二维核磁共振平面（¹H-¹H）在法线垂直方向（¹⁵N）展开，就是三维核磁共振，由64或128张二维平面图构成。而四维核磁共振就是每张三维图里的二维图按¹³C频率再展开成64或128个三维立方，这实际就是四维图。但是我们一开始并不知道，也不能直接看见这具体的四维图，而只能分别看到二维图或者三维图。不过，看不到的东西不见得不存在。

    图9中克莱因瓶的瓶颈和瓶身相交，换言之，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点有同样的三维坐标，占据了三维空间中的同一位置。实际上克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，但我们习惯于三维空间，只好将就把它画得似乎是自我相交。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来，并不穿过瓶壁。正如纸条做莫比乌斯圈0时，要翻转180度粘贴，这已经跳出二维平面在三维空间拧转。要形成克莱因瓶，就要在第四维作类似的翻转，在四维空间里对三维模型进行扭曲。发挥您的想象力吧！

莫比乌斯圈的应用

    莫比乌斯圈和克莱因瓶看似好玩，有没有实际用途呢？莫比乌斯圈已被广泛地应用到了建筑、艺术、工业生产中。譬如皮带轮是广泛应用的运动传接（能量传递）方式，单面皮带一侧被磨损另一面却完好如新。如果用莫比乌斯圈就可以两侧牵动，两面磨擦，受磨损程度就减少一半或者说皮带寿命增加一倍。运用莫比乌斯圈原理是不是可以在建造立交桥和道路时，避免车辆行人的拥堵？在艺术、美术界莫比乌斯圈已经大大激发人们的想像力。

建造一个‘莫比乌斯上海眼’，如何？

    可以大胆设想在浦东临黄埔江朝西处建立一个莫比乌斯圈1的大观景圈，就像‘伦敦眼’大转盘一样。青少年喜欢的‘过山车’速度太快，不适合中老年观光。如果把大转盘做得二三十米高，类似垂直的莫比乌斯圈1，观光者就可以惬意地坐在安全的‘吊篮’里，既看到浦东高新建筑群，又能欣赏外滩多国建筑，把新世纪的新上海和三十年代的老上海，正反两面看个够。夕阳西下、华灯初上之时，人约黄昏、浪漫温馨之际，眺望浦江两岸该多浪漫，多赏心悦目！不过当人们到达顶部向下运转时，就会头下脚上了。但如果设计好游客的‘小吊篮’可以始终保持头上脚下，在技术上并不难。底部当然也应该撑高，而不能着地。或者也可以让这莫比乌斯圈1横躺着，有两个地面支撑点，两辆‘小吊篮’相向而开，那也一定很有意思。我没坐过‘过山车’，是不是莫比乌斯原理已经用到上面，只是速度过快，不太安全。

    这样的莫比乌斯圈1也可以为儿童而建：把8字型横躺的莫比乌斯圈1做成梯子形状，高度1米多点，下面是沙坑。小孩一定会高兴地沿梯子横档爬过来翻过去，从上面爬到下面，从正面翻到侧面，乐此不疲。即便掉下来，也有沙坑承载。其实把它做成DNA双螺旋结构，以A-T，G-C配对当梯子的横档，磷酸－核糖骨架作梯子的两侧，对老百姓、青少年科普一番，也会是个好创意！虽然科学上它不太严格。这是艺术化的结构生物学。

    如果把电视剧屏幕做成莫比乌斯圈而不是平板，那一定非常吸引人。三维的‘阿凡达’在这样的莫比乌斯电视荧屏上放映，不知道会有什么效果，可能反而看不清？但大场面的战争电影或科幻电影，或者是经典的‘男追女跑’镜头，在莫比乌斯电视荧屏上会有意想不到的视觉观感。

    北欧有些建筑就是按莫比乌斯圈格局建的，但是我觉得并没有太特别的地方，建造费用会很高。又有人把北京CCTV新楼（俗称‘大裤衩’）说成是莫比乌斯格式，我认为那顶多算半个扭曲的建筑，忒畸形！

    上面说的莫比乌斯圈的一些应用大多是‘玩’的，实际它的数学理论意义更重要。莫比乌斯圈是拓扑学中最有趣的单侧面问题，而数学的一个重要分支就是拓扑学，主要研究几何图形连续改变形状时的特征和规律。以前人们关注的是几何图形（角度、长度、面积、体积等），而拓扑学则研究经过一系列扭曲、拉伸、压缩等操作仍然不变的性质。

    在史蒂芬·霍金等人的书里，多维空间是常被讨论的问题。他们说的对不对，我们现在还无从完全证实。但是大胆的推论和猜测是科学发展进步的源头，其中时间的莫比乌斯螺旋就是一种很大胆的猜测。当考虑时空旅行时，我们必须考虑能不能由‘虫洞’之类‘捷径’返回，而莫比乌斯式的操作可能使人们能从‘高维空间’返回现实世界。有些人作了下面一些推测，信不信由你：

一.无论将莫比乌斯环放在宇宙时空的任何地方，我们会发现莫比乌斯环外的空间也只能是一个面，因此，宇宙时空的任何空间也只存在一个面。我们也就可以认为宇宙时空中的任何一点与其它的点都是相通的，即整个宇宙时空是相通的，任何一点既是宇宙的中心，也是宇宙的边缘。宇宙时空中的任何物质也都是一样，既处于宇宙的中心，也处于宇宙的边缘。
二.宇宙时空中的任何一个点都可以通过‘裂变’方式无中生有地生成一个对立的阴阳两性。它需要一个比原来的空间大一倍的空间，来体现这新生成的、一个对立的阴阳两性。
三.所有的莫比乌斯环套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。这说明宇宙万物之间存在普遍联系的法则，而且任何一点或一个事物都与其他所有的宇宙万物相通相连。

四.宇宙万物从最终起源上来讲是没有任何差异的，也可以说宇宙万物都是从无中生有中而来，只不过是在演变的过程中呈现出差异而已。宇宙时空中的任何一个点都可以通过无中生有的方式第一次生成阴阳两性，然后再分别以刚生成的阴阳两性为基础，生成第一次的阴阳两性的两个物质，第二次、第三次……直至永无穷尽。(以上四段引自他人文字！)

    我似懂非懂地写了上面这些话，也同时感慨中国文化之悠远，早就对广袤的宇宙产生兴趣。我们知道的‘三百千’，即《三字經》、《百家姓》、 《千字文》中的《千字文》，第一句就是‘天地玄黄，宇宙洪荒’。这《千字文》是1500年前作爲兒童習字的啓蒙讀物，用八个字把黑色苍天、黄色大地和辽阔无边的茫茫宇宙联系在一起。这给中国小孩的启蒙有多深的印象！这八个字引导他们思索这无边无际、辽阔浩瀚的宇宙天际。还有，屈原的《天问》也是问了有关苍天、宇宙、天体的多少个问题，可以想见中国古人对自然现像的关切和浪漫潇洒、天马行空式的充分想像。只可惜中国近代的衰退，没能接续、跟上近代科学的发展！现在就看您和您的下辈了！

（如果纸条拧360度再粘贴，中间剪一刀、两刀，会出现什么？我没实验，您有兴趣试试吗？）

 写于4/17/2010；上传于2/9/2018，波士顿