本文继续介绍Copula熵（Copula Entropy：CE）的多学科实际应用，涉及空间科学、水文学、油气工程、海洋工程和金融学等学科领域，包括国际理论物理中心（ICTP）的电离层特性变化研究、河海大学等单位的黑龙江河冰物候学研究、西南石油大学的煤层气产量预测、哈尔滨工程大学的海洋底质信息探测和波兰雅盖隆大学的疫情对金融市场影响研究等。

空间科学

电离层是指大气层从50公里到1000公里高度由大量离子和自由电子构成的区域。它的物理特性受太阳辐射活动的影响，同时也影响着通过其的微波传播。电子总量（Total Electron Content：TEC）是电离层的主要物理参数，对空间运行的卫星通讯系统和全球定位系统具有重要影响。多普勒频移（Doppler Frequency Shift：DFS）是检测电离层的技术之一，可以从通过传输信号的能量谱估计得到，它被研究证明可以反映电离层的短期变化。研究TEC和DFS之间的复杂关系，可以加深对电离层特性变化了解，对相关空间系统运行意义重大。但这种关系具有非线性复杂性，给研究构成了挑战。传递熵（Transfer Entropy：TE）作为一种研究非线性因果关系的数学工具，是研究这种关系的理想方法。Akerele等[1]利用一组分析工具研究了赤道地区高频微波信号传输中TEC和DFS之间的非线性关系，其中利用了基于CE的TE作为因果关系分析工具。他们利用2020到2021年间尼日利亚Abuja和Lagos两地的高频多普勒系统测量数据和NASA的TEC数据，分析了上述关系。结果发现，TE分析结果显示TEC的变化会导致DFS的显著变化，这一因果关系的强度会随着电离层季节变化而变化，而相关性分析并没有揭示这一因果关系。这一结论对高频微波通讯系统的管理具有重要参考价值。

水文学

河冰是中高纬度地区河流特有的水文现象，具有鲜明的季节性特征。河冰物候学就是研究河冰冻结和融化的季节性变化现象的学问，这种季节性变化具有空间异质性和年度差异。河冰物候现象受多种因素影响，如气候条件、水文条件和人类活动等，其中气候变化是首要驱动因素。在全球气候变化的背景下，过去一个时期的河冰现象发生了显著变化，理解和量化河冰动态性以及内在的驱动力对于制定河流管理策略至关重要。Xing等[2]研究了黑龙江的河冰物候学时间变化对气候变化的响应，其中利用CE工具计算了河冰周期的5个关键日期（新冰日、冰封日、冻结日、开化日和冰销日）与气候因子的非线性相关性强度。结果发现，温度、气压和蒸发压是河冰物候最重要的气候驱动因子。特别地，新冰日和冰封日与前一、二个月的蒸发压强相关，冻结日与蒸发压的相关性具有超过4个月的滞后期，而这三个日期又与同月的平均最大温度、平均温度和最小极端温度强相关，表明了结冰日期对温度的反应要快于其他气候因素。同时，开化日与2个月的月平均温差、最小极端气温和最大极端气温相关，冰销日与5个月的月平均温差和月相对湿度相关，具有明显的滞后性特征。作者还基于CE研究了15年滑动平均的相关性，发现气压和温度等与河冰日期的时间变化规律。这些结论有助于将这些鉴别的因子加入到河流模型中，建立更准确的冰期预测模型，从而使河流管理更好地适应气候变化的影响。

油气工程

煤层气是蕴藏在煤层中的一种天然气，通常通过向煤层钻井来开采，在我国已经有30多年的开发历史。煤层气产量受开采过程中的多种地质和工艺因素影响，鉴别出与其密切相关的关键因素对作出煤层压裂开采决策至关重要。但煤层压裂有效性和影响因素之间关系具有非线性特征，且因素之间相互影响，给关键因素分析和产量预测构成了挑战。Luo和Xi[3]提出了一种将基于CE的特征选择方法、混合优化算法和神经网络方法相结合的方法，用于构建煤层气井产量预测模型。他们在鄂尔多斯盆地某地块的气井数据上验证了该方法，利用基于CE的方法从36个备选因素中得到了4个关键因素，包括与气层相关的含气量和气饱和度，以及与压裂工艺相关的前置液量和含沙液量，由此得到的预测模型能够在实验数据上预测最高83%的产量。作者在同一地块的一口典型钻井上应用该方法选择地层中的高含气量区域，使得该井的日产量从每天322立方米大幅提高到950立方米。

海洋工程

人类对海洋空间的探索是海洋工程建设、海洋资源开发和管理以及海洋军事行动等活动的基础，海洋底质信息探测是诸多活动的前提，因而是海洋测绘学研究的重要问题之一。多波束声呐系统是海洋测绘领域的主要调查设备之一，可以用来通过声学探测获取海底的底质信息并对其进行分类。赵廷[4]提出了一整套多波束声呐海底底质分类技术，在多波束反向散射图像的基础上提取一组空间、频率和尺度特征，再利用CE等相关性工具去除其中的冗余特征，最后利用筛选后的特征构建底质分类模型。他在比利时Oostende Harbor数据集上对提出的特征选择和模型构建方法进行了实验验证，结果表明，利用CE等工具可以发现特征之间的非线性相关关系，在此基础上去除冗余特征后，模型的分类性能得到了显著提升。

金融学

流行病疫情对人群健康构成严重威胁，促使社会和个体采取应对措施。这些疫情应对进而会产生巨大的经济社会影响，特别是对金融市场的影响。研究疫情对金融市场的影响是一个重要课题，对市场利益主体具有现实意义。Gurgul和Syrek[5]利用CE方法研究了波兰股票市场指数在2019新冠疫情期间的相关性特征，特别研究了2020年3月13日波兰疫情发生当天WIG指数和其14个板块指数之间的相关性，发现宣布疫情后这种相关性明显增强。作者还利用同样的方法研究了四个国家（法、德、英、美）的股市，利用CE计算了各国股市板块收盘价和股市指数之间的相关性，发现了疫情后这种相关性也明显增强[6]。这一发现与2008年金融危机得到的经验是一致的。他们还发现CE方法得到的结论与经验相符，而传统皮尔逊相关得到的结论则不符合过去的经验，如后者低估了德国股市疫情后的相关性。作者认为这是因为CE可以度量金融市场变量之间的非线性相关关系而不做任何假设，从而验证了CE的优越性。

更多Copula熵的理论和应用介绍，请参见我们在ChinaXiv上的综述论文。

参考文献

1. Aderonke Akerele, Babatunde Rabiu, Samuel Ogunjo, Daniel Okoh, Anton Kascheyev, Bruno Nava, Olawale Bolaji, Ibiyinka Fuwape, Elijah Oyeyemi, Busola Olugbon, Jacob Akinpelu, and Olumide Ajani. Complexity and nonlinear dependence of ionospheric electron content and Doppler frequency shifts in propagating HF radio signals within equatorial regions. Atmosphere, 15(6):654, 2024.

2. Ruofei Xing, Zefeng Chen, Jie Hao, Wenbin Liu, Qin Ju, Dawei Zhang, Shiqin Xu, and Huimin Wang. Temporal variation in river ice phenology of the Heilongjiang river in response to climate change. Journal of Hydrology: Regional Studies, 54:101868, 2024.

3. Zhifeng Luo and Haojiang Xi. Hybrid model based on copula mutual information and SSA-BP: Analysis of key factors and prediction of stable gas production. Arabian Journal for Science and Engineering, June 2024.

4. 赵廷. 多波束声呐海底底质智能分类关键技术研究. 博士学位论文, 哈尔滨工程大学, 2022.

5. Henryk Gurgul and Robert Syrek. Mutual information between Polish subindexes –the use of copula entropy around the time of the COVID-19 pandemic. Statistics in Transition new series, 25(1):23–41, 2024.

6. Henryk Gurgul and Robert Syrek. Mutual information between the main foreign subindices: The application of copula entropy around WHO’s declaration date at the time of the COVID-19 pandemic. International Entrepreneurship Review, 10(2):7–24, 2024.