有的数学是发明，有的是发现。比如，1+1=2就是发现，而1+1=3则是发明。因为，前者与真实世界相符，数学家只是发现了这些数学命题; 而后者则是虚构的。

发现与发明，就好比历史记录与历史小说的区别。发现的数学，是客观的，是忠于现实世界的真实描述，而发明的数学，则是主观的，虚构的，不能描述现实物理世界的规律。

发现式的数学是真理，有现实价值，是人类追求的目标。但在追求数学发现的时候，人类由于自身的智力局限，也会有数学发明。遗憾的是，数学发现是少数的，而发明则较多。

发现和发明都是有价值的。可以用战争和体育做个类比。数学发现好比是战争，可以帮助人获得现实利益，而发明则好比体育，虽然是个有规则的游戏，但也增强了人的相应竞争能力。虽然不存在围棋一样的战争，但围棋也可以锻炼人的博弈对垒的智力。

数学的“有用与无用”是人们经常争论的话题。实际上，数学发现显然是“有用的”，而数学发明则看起来是“无用的”。但数学发明是不可避免的，它们也会锻炼数学技巧，扩大认知范围，其中的合理部分也会增加人类获得数学发现的机会。因此，发现和发明都应该受到欢迎和鼓励。因为，数学发现虽然是最终目的，但却常常是以大量的数学发明为必要代价的。