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比内特公式

已有 1514 次阅读 2023-11-13 04:54 |个人分类:读书札记|系统分类:科普集锦

约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)曾经把毕达哥拉斯定理(即勾股定理)和黄金比例(也称黄金分割)称为“几何学的两大宝藏”。前面两篇博客讨论了勾股定理,本篇讨论的比内特公式涉及黄金比例和斐波那契数列。比内特公式远不如黄金比例和斐波那契数列广为人知,但是它连接了黄金比例和斐波那契数列。

斐波那契数列Fn(n=1,2,3,..):

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

与黄金比例紧密相连——当我们取任意两个连续的(一个接一个)斐波那契数时,它们的比率非常接近黄金比例φ

两年前,我在科学网博文《神奇的斐波那契数列(2021-2-22)》中,列举过斐波那契数列的一些简洁、美丽的公式,其中,有一些公式,涉及黄金比例φ

image.png

这里所列的最后一个公式称为比内特(Binet)公式,可用于寻找斐波纳契数列的第n项。之所以这样命名,它是由雅克·菲利普·玛丽·比内特(Jacques Philippe Marie Binet,1786.2.2—1856.5.12,在1843年推导出来的,尽管莱昂哈德·欧拉、丹尼尔·伯努利和德·莫维尔在一个多世纪以前就知道这个结果。比内特致力于矩阵理论的基础研究,他最为人知的成就是发现了矩阵乘法规则。

公式

总所周知,斐波那契数列由

image.png     ....(1)

定义。如果按照定义进行计算,为了计算第100个斐波那契数,我们需要先计算它之前的所有99个值因此,一个自然会提出的问题是:我们能为F(n)找到一个直接计算第n项而不需要计算任何其他(更早的)斐波那契值公式吗?是的,这个涉及到我们的黄金比例数:

image.png 

 比内特公式是说:如果Fn是第n 个斐波那契数,那么

image.png   ....(2)

例如,对于n=25,

image.png 

因此,斐波纳契数列的第25项是75025。

证明

为了推导出斐波那契数的一般公式(2)回顾黄金比例的定义:黄金比例或黄金分割比,是一条线段被切割成两段不同长度的比值,使得整条线段与较长线段的比值等于较长线段与较短线段的比值。这个数字的起源可以追溯到欧几里德,他在《原本》中提到它是“极端和平均比率”。就当今代数而言,假设较短线段的长度为一个单位,较长线段的长度为x个单位,则得出等式(x+1)/x = x/1这可以重新排列形成二次方程

image.png 

首先注意,这个二次方程的解是:

image.png 

image.png 

这个二次方程也可以写成

image.png 

由此,我们可以为所有xn写出表达式:

image.png

可以用数学归纳法推出一般公式

image.png     ....(3)

这里,只要假设n=k时,有:

image.png 

则当n=k+1时,

image.png 

即证明了(3)。

原始二次方的根σ和τ必须满足

image.png 

所以

image.png 

image.png 

从第一个方程式中减去第二个方程式得到

image.png 

image.png 

这产生了第n个斐波那契数的一般形式

image.png 

证毕。

结语

比内特公式建立起了黄金比例与斐波那契数的关系。香港科技大学的COURSERA课堂笔记(参考资料[1])对此有广泛的讨论。

黄金比例被认为是最美丽的,并且在建筑和艺术中被广泛使用。它在自然界的许多地方都可以找到,比如在花瓣中,在蜗牛和鹦鹉螺的螺旋线中,甚至在宇宙中的星系中...。说无处不在,是夸大其词。但是,在简单的几何图形中取距离比值时,黄金比例的确是经常会遇到的数字之一,比如五边形、五角星、十边形和十二面体。

黄金比例φ和圆周率π、欧拉数e都被称为无理数。这些“无理数”不是凭空臆造的,既非“无理”,更非“无用”。研究这些“无理数”大有用处。

参考资料:。

[1] Jeffrey R. Chasnov. Fibonacci Numbers and the Golden Ratio

https://www.math.hkust.edu.hk/~machas/fibonacci.pdf






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