李老师说：“把原始文献给您的目的，在于澄清Lorenz原始定义的横轴和纵轴都是累积百分比，这跟您先前的说法不同。”

答：是的，我也是在别的参考文献上看到：Lorenz是用标准定义的个人收入的。在那篇文献中，刚开始，也是这样。英国税收数据，也是按岁入分组，统计每组人数的。从1877年到1886年最低收入（150-500磅）人数从28.6万增加到34.7万;中间组（500－1000磅）人数基本不变（3.2万）；高收入组（1000-5000磅）人数略有下降。这个结果，是严格按累计分布定义的。看起来不漂亮（穷人组太多，但只占收入横轴很短一点长度）。所以Lorenz采用了德国人Wolf的分组方式，即横轴也按累积百分比分组，这样就可以把穷人组拉宽一些，一些穷人能挤入中产，而少量中产能挤入高产。而国民总收入增加每组多少都能受益。Lorenz就采用了Wolf定义作了曲线图。但并未从数学上给出任何证明：新的定义与数学定义等效。也没有关于右下方的教条。所以，我们可以更有把握地讲，目前应用中所谓Lorenz曲线并不是严格定义的pdf的累积曲线。但要更有说服力，还得作一些工作。

“由于横轴的累积收入百分比是从低收入向高收入逐级累积的，所以那条Lorenz曲线必然是单调递增而且任何一点的切线斜率是递增的。因为这个由穷向富累积的特性，您说的双峰在Lorenz曲线上被平滑掉了，”

答：所谓“横轴的累积收入百分比是从低收入向高收入逐级累积”的是最有欺骗性的一点。个人收入也是从低到高排列。但是，从低收入向高收入逐级累积（乘上收入，再分组，就可能扩大多人密集形的基底宽度。单峰没有问题的，超“最高收入”的人数并入最高收入那一组。大家一般都接受。

“因为所谓“峰“代表高收入的话，这部分人都被集中放到后面了。。。”

答：不对，“峰“可以代表任何收入。比如照片的剪影、夜景，就是典型的黑白双峰。通常遥感图像的分类，基本上不能不考虑双峰甚至多峰。而计算机自动分类，就严重需要分布函数的数学表达。

“双峰或者多峰，已经因为排序的原因而消失了。”排序

答：排序是基本要求，双峰或者多峰的消失，只能靠玩分组来削峰填谷。

“我对数字图像处理完全外行。不过，我理解您的双峰问题，是个寻找合适的概率分布函数的问题，这时候横轴是收入水平，纵轴是频率。现在拉上Lorenz曲线，可能偏离了方向，因为概率分布函数和lorenz曲线的两轴定义并不相同。”

答：数学是一样的。

“要说联系的话，理论上说，已知 Lorenz曲线，应该可以还原出原始的概率分布。不知我猜得对不对？”

答：严格讲，分组后不可能。但如果能保留分组时组内分布参数，马马虎虎也能搞出个大概。