1. 准备

在认识Chao1指数前有两个概念需要理清：

singletons，即仅含有一条read的OTU，doubletons，即仅含有两条reads的OTU。

可以这样理解：在一个放了各种各样玩具模型的水池中（例如下图。水池很大，其中玩具有相同的，有不同的，且各种类型及数目不限），随机来捞玩具。这时捞起来一个，发现之前有个玩具和这个捞起的玩具一模一样，这时有两个这种玩具在手上，这个玩具模型就是doubletons；当然也可能捞起一个玩具发现手里没有相同的，那这个就叫singletons。

注意：手里如果已经有两个或以上，再捞一个起来这类情况对Chao1指数是没有贡献的！

2. 公式

Chao1的经典公式如下〔1〕：

S_obs表示样本中观察到的物种数目。F1和F2分别表示singletons和doubletons的数目。

Chao1指数还有另外一种修正偏差的公式，在scikit-bio[1]上也有提到了(注：QIIME使用的是scikit-bio)，如下：

由经典公式可以看到，当doubletons为0（即F₂为0）时计算的结果没有意义，修正公式可以解决这个问题。

可以这样理解这个修正公式（虽然不太严格）：它从singletons中拿出1条来（严格来说与经典公式相比还不到1条），当作doubletons，这样分母一定会大于0。

从QIIME代码来看，QIIME调用skbio.diversity.alpha.chao1时bias_corrected为默认值True，表示按经典公式计算。

3. 对公式的理解

从公式我们可以看到chao1指数是用来反映物种丰富度的指标。它通过观测到的结果推算出一个理论的丰富度，这个丰富度更接近真实的丰富度。一般来讲能观测到的物种丰富度肯定会比实际少，那么两者之间的差距有多大呢？chao1指数给出的答案是(F₁^2)/(2*F₂)，它通过singletons和doubletons进行了合理的推算。分析chao1指数的后半段(F₁^2)/(2*F₂)我们不难发现它对singletons的权重要高于doubletons (即F₁^2比2*F₂变化的速度更快)。

Chao1指数是基于这样一种假设：在一个群体中随机抽样，当稀有的物种(singletons)依然不断的被发现时，则表明还有一些稀有的物种没有被发现；直到所有物种至少被抽到两次(doubletons)时，则表明不会再有新的物种被发现。(The idea behind the estimator is that if a community is being sampled, and rare species (singletons) are still being discovered, there is likely still more rare species not found; as soon as all species have been recovered at least twice (doubletons), there is likely no more species to be found.〔2〕)

综上，chao1是度量物种丰富度的指标，它和丰度、均匀度无关，但是它对稀有的物种很敏感。(这也正是丰富度指标应该具有的特性！)

4. 举例

菌落A，有50个OTUs，其中仅有两条reads的OTUs有10个，仅有一条read的OTU有12个，那么其chao1指数值为50+(12^2)/(2*10) = 57.2

菌落B，有50个OTUs，其中仅有两条reads的OTUs有20个，仅有一条read的OTU有5个，那么其chao1指数值为50+(5^2)/(2*20) = 50.625

菌落C，有80个OTUs，其中仅有两条reads的OTUs有10个，仅有一条read的OTU有12个，那么其chao1指数值为80+(12^2)/(2*10) = 87.2

菌落D，有40个OTUs，其中仅有两条reads的OTUs有3个，仅有一条read的OTU有20个，那么其chao1指数值为40+(20^2)/(2*3) = 106.6667 ! （Amazing!）

可以将菌落B、菌落C和菌落D分别是茵落A进行比较，更加感性的去认识这一指数，这里就不再赘述了。

参考材料

[1] http://scikit-bio.org/docs/0.4.1/generated/generated/skbio.diversity.alpha.chao1.html#skbio.diversity.alpha.chao1

[2] http://palaeo-electronica.org/2011_1/238/estimate.htm

[3] Chao, A. 1984. Non-parametric estimation of the number of classes in a population. Scandinavian Journal of Statistics 11, 265-270.