Multiplicative intrinsic component optimization (MICO) for MRI bias field estimation and tissue segmentation

这篇文章是李纯明2014年发表在 Magnetic Resonance Imaging上的一篇文章，与他发表的论文A Robust Parametric Method for Bias Field Estimation and Segmentation of MR Images（CVPR2009）、MRI tissue classification and bias field estimation based on coherent local intensity clustering: a unified energy minimization framework（IPMI2009）这两篇论文的算法基本上是一样的。在论文中，作者提出了一种新的能量最小化方法Multiplicative intrinsic component optimization（MICO），该方法能够针对MRI图像同时进行偏移场估计、偏移场校正及图像分割。之所以叫MICO是在构建模型的时候，将MRI影像分解为真实图像和偏移场这两项的乘积。

论文的前提假设

论文算法基于两个假设：

1、MRI影像中，组织之间不会出现交叉，即边界是清晰的。

2、偏移场在全局是平滑的，并且变化缓慢，在一个小的局部可以看做是不变的。

另外，论文还有一个隐含地假设：同一组织的真实影像亮度是一致的。

在这里，我们可以看到作者将一些影像的先验知识带入到了方程式中。

算法推导

首先，我们可以定义采集到得图像可以分解为偏移场和真实图像的乘积再与噪声叠加，我们可以将公式描述为：

                          (1)

其中表示我们采集到得影像，表示偏移场，表示真实影像，表示噪声，在这里作者假设噪声的均值为0。

基于以上公式，那么对偏移场的估计和对图像的分割就可以理解为对和的优化搜索。为了有效的利用和，需要对偏移场和真实图像进行适当的数学解释和表述。

对于偏移场，作者用一系列线性函数来描述（理论上，通过线性组合可以达到任意精度）。因此偏移场可以写为

                          (2)

其中，，在这里可以用多项式基函数来表示，在论文的代码中，作者只用了10个多项式。对的优化就可以转化为对的优化。

对于真实影像，基于前面的假设，如果图像中有N个组织，那么真实图像可以写为以下表达：

                          (3)

对于图像中的某个像素来说，要么为0，要么为1，并且的和为1。也就是说我们通过来区分各个组织。

MICO的能量公式

经过前面的介绍，作者列出了能量公式

                   (4)

带入前方假设，可写为

        (5)

在公式中带入3式中约束后整理公式，可以写为

        (6)

以上计算个过程，我们都假设是二值函数，也就是所谓的硬分割，在一些情况下，可能需要软分割，这时需要加入模糊函数使得可以介于0与1之间，就和Fuzzy C-Means聚簇模型中定义的那样，在这里我们定义模糊器，这时能量公式可以定义为：

        (6)

能量最小化

在这里我们可以看到，对能量的最小化可以转化为对的优化，在这里，首先固定其中两个参数计算另一个参数的优化值，然后一次递归迭代求出最后的优化值。

可以证明优化值分别如下：

             (7)

 (8)

对于需要判断，当时

             (9)

               (10)

当时，

        (11)

至此，论文算法描述结束。接下来我们结合代码看看论文怎么在具体针对具体的MRI影像进行算法实现。