物理学的逻辑（续2）

（1）前面的博客文中，指出了：表达一个物理实体、或者物理量，可以用指数函数项的叠加、再配合傅里叶变换的方式来理解。本文继续在这样的前提下，从这样的崭新的视角角度，来考察牛顿力学。

（2）一个物体A，（不那么严谨地）可以表达为：

式中，A为振幅，δ为类冲激函数，亦即物体A看做x₀处的质点（δ函数括号中的内容是说，x只在x₀处取值，其他地方均为0），后面的指数函数项（初相位暂不考虑）是说，x₀是以一定的速度移动的，该速度（线速度）是ω/k。

（3）速度总归是线速度；这个速度，作为矢量，其方向是沿位移曲线在x处切线方向的。

在牛顿力学中，也许可以留意到，但凡提到一个物体（质点）运动时，都是线运动性质的，这一点可以对比电子运动（一般描述为：一幅特定空间分布的云图像，称作电子云）。如果空间是平凡的，则位移曲线就是直线，也就是常说的惯性运动；如果附近有大质量体，则（按照广义相对论的说法）空间被改造成为弯曲状，移动曲线就是弯曲的，当然物体A本身也对空间改造产生一定的贡献。

在上式中，k，ω是物体A内禀的，这两个量一旦确定，则A的运动就是确定的；x，t是外部确定的，物体A本身会有一定的影响。

所谓这两个量一旦确定，则A的运动就是确定的，是指关于物体A运动的各项物理量：

动量=hk；能量=动能+势能=hω：物体A惯性质量m=hk²/ω；线速度=ω/k；等等，都是确定的了。

（4）物体在空间的移动表达为波动形式的前提下，速度的测定采用如下的规则：测试仪相对于物体A静止（二者同速），因此测试仪所获取的该物体/物理量的信号，为一常量。

关于两个物体之间的相对速度，例如还存在固定在x₀处的物体B，B（不那么严谨地）表达为：

则A相对于B的运动由A/B求出，而B相对于A的运动由B/A求出，二者相差指数部分的一个负号。

按上式，两者的相对运动，按照A相对于B是远离，则反过来，B相对于A也是远离，这样的方式来理解（还没有到区分运动是向左、还是向右这一步；式子只是说，沿x路径行进，一个周期走一个波长，至于x路径是向左还是向右，是直线还是曲线，主要由外部因素来定，至少是要先建立起坐标系后，才能谈x轴正方向、或者x轴负方向的运动吧）；与两个物体之间的如下相对运动是类似的：“A如果绕B顺时针转圈，则同时B也是在做绕A的顺时针转圈运动，两者运动的模式相同，仅是相位关系上，差半个周期”。

如果测试仪不随物体移动，例如利用光来跟踪该物体，光照射到该物体上然后携载信息返回，在物体A低速运动的情况下，将与光运行有关的时间简单省略掉是一种很好的近似，这就是我们真正的、常用的、感受物体运动的方式！（当然对高速运动这种近似误差就很大了，但也未必就要如狭义相对论所诉求的那样）

要求测试“保持某值为常量”，与“最小作用量原理”，“最小变分/最小变化量”，“求取极值”，等等，应当看作是“自然界内在的”、“本质上是相同的”的要求。

（5）物体运动的图像。实际的物体，如果在运动方向（运动是沿线进行的，不是在平面上铺开的，也不是向四面八方遍布全立体角的）上分出前沿、后沿的话，则在路径上某点x₀处，将从小到大建立起振幅，然后该振幅又从大到小逐渐低弱下去，寓意着前沿部分先行抵达，然后前沿移出而后沿到达，然后后沿又逐渐离开x₀点，此时前沿部分在更远处。运动用波函数形式来表示，所呈现的就是这样的典型的、波动行进的方式。

在移动路径上取一个区间[a,b]，则物体以波动行进方式移过该区间，总是需要时间的，在这段时间内，一个更快速移动的物体，完全来得及追上前者；所谓的“阿基里斯和乌龟赛跑悖论”，其实从来也不是一个问题。

（6）可以在直线运动的情况下，来验证一下动量、能量守恒定律。动量守恒要求求碰撞前后两个物体的m1，m2，v1，v2（碰撞前的量不带“’”号，碰撞后的量带“’”号），然后令前后的总动量相等；能量守恒（假定二者都不处在特殊的势场区域）要求求碰撞前后两个物体的m1，m2，v1平方，v2平方（碰撞前的量不带“’”号，碰撞后的量带“’”号），然后令前后的总能量相等（带或者不带系数1/2无所谓）；用本文第（3）条中的那些公式，将对m、v的要求转换为对k、ω的要求，有如下结论：

碰撞前是关于m1，m2的两个指数函数项；碰撞瞬间这两个项取乘积的关系，因此两个k相加，两个ω也相加；碰撞后两物体分开，而原来相加得到的总和k，再次分成两个部分（比如5，分成3+2两个部分，或者1+4这样的两个部分），ω亦如是；碰撞前后的总和k，总和ω保持不变。

原来是两个因式，碰撞瞬间两个因式相乘，碰撞后乘积又做成两个（不同的）因式分开（就如同原来有2和6，碰撞瞬间取得2×6=12，碰撞后变成3和4，当然还有总k，总ω不变的要求）；碰撞的本质呈现的就是这样的图像。

（7）在机械能守恒的情况下，ω蕴含动能和势能两个部分，二者可以相互转化（总能5，分成3+2两个部分，又或转化成1+4这样的配置）。

如果能量不守恒，例如从外部输入一定的能量hω，这一部分能量先是加到原有能量上，物体总能有所增加；然后在这个总能下，进行动能和势能的调整，以及一部分ωt形式的相位，转换为kx形式的相位，造成动量的变化；势能的部分，因获取了新增势能，成为一个势能源，向四周扩散，那个等势能面的负梯度，是牛顿力学中常常说起的“力”。

（8）对于通常的宏观低速运动，k与ω均为大数，但二者之比不大，寓意着低速运动；此时由于ω取大的数值，该物体因光线照射而增加的能量hν，实际上是可以忽略的；在常识中，光的照射几乎不改变宏观物体运动的状态，正是如此。

（9）如果重要的事情多说几遍的话，那么就是“位相”、“位相”、“位相”。其中kx部分与ωt部分的相互转化，ωt部分中动能部分和势能部分的相互转化，外部因素的作用与效果，就是牛顿物理世界中所发生和牛顿力学已经处理得很好的、所有的那些事情了。

（10）正如数字10，可以拆分成3+3+4，或者2+3+5，或者1+1+2+3+3，等等，kx-ωt是一个总的相位，当然可以按照不同的方式进行拆分和再合成。在要求k，ω均不变（动量、能量守恒）的前提下，ωt的这个部分尚且可以拆开成动能贡献、势能贡献两个部分，二者相互转化（行星运动、弹簧振子皆如此）；如果有外部因素，则k，ω自然发生各种相应的变化，包括了外力直接改变k（按牛顿力学，作用力的冲量等于动量改变量），以及外部直接输入或者抽取能量，增加或者散逸掉能量的情况。

（11）附带讨论一下矢量乘法中的量纲问题。

仔细的考察发现，一个物理学中的矢量包含3个要素：一个纯数的数值，一个量纲（单位），一个方向（数学上的矢量只要有2个要素即可，不关心量纲）。

矢量的加减法没有问题，按平行四边形法则处理即可；数乘没有问题；叉乘没有问题，如果两个长度叉乘，所得到的是面积，量纲也是平方米；点乘是有问题的。按混合积，三个矢量的混合积（先括号内叉乘，然后做点乘），是三矢量构成的3D体的体积，也就是三个长度做混合积的话，最终量纲是立方米，此时的点乘需要计入量纲；然而点乘也具有求投影的含义，比如(3i+4j)·2j，投影前的量纲是米，投影后还是线段长度的性质，量纲应该还是米，也就是按照投影关系来理解点乘的话，两个米量纲点乘，点积的量纲还是米，有一个乘数的量纲并不进入最后的乘积之中。

我们按3个要素的理解来处理(3i+4j)·2j的问题，其中3i是完整矢量，有纯数3，有量纲米，有方向i，4j也是如此，但是2j不把它看做是矢量，它仅仅是提供一个投影的方向j，至于2表达的是要做数乘2的意思，于是如果是投影的话，2j并不提供额外的量纲，投影点乘倒也还好。

以上讨论，与路径为曲线的运动直接相关；因为在建立好坐标系后，k、x作为矢量，总是要分解成不同方向上的分量（做投影），才方便进一步的处理。

（12）前面提到，一个物体A可以表成：

在两体碰撞问题中，如果物体B携载着很高的能量，则作用的对象也可以不是上面的指数函数项，而是δ函数的那一项，如果因此δ函数的这个部分不能保持，则说明在B的轰击下，A散成了碎片。

（13）按这一系列的博客文来重新审视物理学，应该是比大多数人现有的理解要深入一些、以及看得更清楚一些了。