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分形颂---共赏自然惊艳之美

已有 5447 次阅读 2010-10-25 00:33 |个人分类:道法自然|系统分类:诗词雅集

分形颂---共赏分形惊艳之美

谁不知道熵，谁就不是科学文化人；谁不知道分形，谁就不能称为有知识。---物理学家惠勒

打破虚空笑满腮，玲珑宝藏豁然开。---顺治帝

1967年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在美国《Science》杂志上发表题为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，标志着其分形思想萌芽。

1977年，曼德勃罗在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》。

1973年，曼德勃罗首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，来源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，原意为不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

1977年，曼德勃罗在美国出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形状机遇和维数》）；同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形几何》)。

直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形几何》)第二版才得到欧美社会的广泛关注，并迅速形成了“分形热”，此书被分形学界视为“分形圣经”。

中国学者将“Fractal”译为分形，是较为妥切的。单从语言上看，中国典籍中也有许多关于“分形”这个词汇的记录（但此分形非彼分形），如：

分形同气。---《吕氏春秋.精通》

奇幻倏忽，易貌分形。---张衡《西京赋》

出有入无成妙道，分形露体共真源。---《慧命经》

但中国古代学者和思想家并未发现现代数学上的分形现象，因为他们长期囿于易经那套思维方式，沉浸在那种阴阳八卦思维方式、五行模式里面，对于纷繁复杂的世界和社会，似乎这能为迷茫者提供一些有价值的信念和指针。虽然易经画卦方式本身就类似康托集合生成，但其最大的缺陷在于太定性、太简化；加上特有的传统文化生态氛围，尤其是儒家习性对百家个性的排斥、压抑作用，扼杀了墨子的几何化萌芽。然而幸好有道家的自然主义为后世中国科学挽留和延续了部分先秦科学基因；还有佛家所谓“破碎虚空”、“于一微尘中，悉见诸世界”等哲理，又在哲学层面上与分形思想十分吻合！

康德曰：“人为自然立法”。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年数学家从测度的角度引入了分数维概念，这突破了一般拓扑集维数为整数的限制，从而开创了一片新的几何领域。传统几何学研究的是整数维的欧氏空间中的光滑几何对象，而分形几何学研究的是自然界中普遍存在的不规则现象，因此分形几何又称自然几何学。

分形几何学的特点：整体上各相异，不同尺度上自相似。小到混沌量子场，到聚合物、树枝、大脑皮层褶皱、脉管系统、云朵、山脉、海岸线，大到星系、星系洋，到处都呈现自然界美丽奇幻的分形景观，这是自然界复杂性本质的表现。

分形理论认为存在分数维度，与物理学中的混沌吸引子等重要概念存在密切联系。与分形有关的关键术语是：“迭代”、“奇点”、“孤子”、“分岔”、“异宿”、“标度不变性”、“非线性”、“自组织”等。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，在许多科学艺术领域都得到应用和发展，如物理学、天文学、流体力学、混沌学、统计学、信息学、图形学、生物形态学、甚至音乐、绘画等广阔领域。笔者认为，分形只不过是一种测度物质形态的方式，它完全可以与混沌学、拓扑学、复流形、全息论等分支学科产生更深刻的结合！

最令人感兴趣之处在于自相似性的普适性，如M集和J集，分形几何体表现出如下重要特征（见图）：简单性与复杂性的统一性，复数与实数的统一性，整体与局部的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象以及分形体系内非线性作用等。

分形学还将继续发展，如曼德布罗特还研究了“随机多重分维”与“负分维”，这些奇妙的概念，定然蕴藏着更奇异的美。联系物理学那些重要概念，我们应该发现更多的分维类型，比如全域分维，局域分维，等。笔者甚至可猜想存在如下定律：

宇宙道场的点内空间分维数与点外空间分维数之和守恒。这个总分维数等于4？等于5？等于10还是11？

你看！那些春天的蓓蕾，含苞欲放；那些奇异的萌芽，正在吐绿。还有那些流水的旋涡，那些灵异的生物，那些晶莹的露珠，那些茂密的森林，那些美丽的凤羽……应接不暇，层出不穷；大千世界，尽在其中。

分形几何世界如此多姿多彩，奇异美丽，不得不令人类赞叹！难道这样的世界真实存在的？它栖息何处？难道纯粹是人类理性思维的代表---迭代方程的数学产物吗？

不可否认的是，简单的公式经过反复多次的迭代，抽象的方程呈现出了惊艳的美，难道柏拉图的世界栖息其中？难道这就是上帝缔造万物的最初方式？说实在的，论美丽与深刻、感性与理性的完美结合，非分形几何莫属!

从分形几何中，我们发现最深刻的自然哲学理念都得到表现：简单产生了复杂，混沌孕育了秩序；对称中含有破缺，破缺中含有对称。

最后，笔者以一首小诗作为结尾：

分形颂

山重水复自相似，柳暗花明景不同。

混沌奇异吸引子，美丽蝴蝶扇飓风。

惊涛骇浪扬飞沫，宇宙万象出无穷。

浩瀚无外何庄严，精微无内谁密封？

打开千层玲珑匣，华藏世界豁然空。

但见凤羽舞幽境，玉露芬芳满纤丛。

标度不变隐常数，能量守恒画对称。

天谱幂律演几何，我独吟诗分形中。

【分形附录】

一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。

卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。

多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。