1. 叙述实数列 $left{x_nright}$ 的 Cauchy 收敛原理, 并用 Bolzano-Weierstrass 定理证明之.  证明:   itemCauchy 收敛原理:     [     lim_{ntoinfty}x_nmbox{ 收敛}Leftrightarrow forall varepsilon>0,\exists N, forall m,ngeq N, |x_m-x_n|<varepsilon.     ] item 若 $left{x_nright}$ 适合    [     forall varepsilon>0, exists N,\forall m,ngeq N, |x_m-x_n|<varepsilon.     ]     则 $left{x_nright}$ 有界. 由Bolzano-Weierstrass 定理,     [     exists left{n_kright}, x_0inmathbb{R},mathrm{s.t. } x_{n_k}to x_0.     ]     而    [     exists Kgeq N, forall kgeq K,|x_{n_k}-x_0|<varepsilon.     ]     于是当 $ngeq n_Kgeq K$ 时,     [     |x_n-x_0|leq|x_n-x_{n_K}|+|x_{n_K}-x_0|<2varepsilon.     ]     此即说明 $x_nto x_0$. en    2. 设数列 $left{x_nright}$ 满足    [     x_1=1,quad x_{n+1}=sqrt{4+3x_n}(n=1,2,cdots).     ]     证明 $left{x_nright}$ 收敛, 并求其极限.  证明:  记 $f(x)=sqrt{4+3x}$, 则[ |f'(x)|=left|frac{3right|{2sqrt{4+3x}}}leqfrac{3}{4}<1. ] 于是 $left{x_nright}$ 为压缩数列, 是收敛的. 设极限为 $x_0$, 则[ x_0=sqrt{4+3x_0}Rightarrowx_0=4. ]    3. 计算 $displaystyle{iiint_Omega sqrt{x^2+y^2}mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z}$,其中 $Omega$ 是曲面 $z=sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成的有界区域.  解答:  begin{equation*} begin{aligned}iiint_Omegasqrt{x^2+y^2}mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z &=int_0^1mathrm{,d}ziint_{x^2+y^2leq z^2} sqrt{x^2+y^2}mathrm{,d}xmathrm{,d}y\&=int_0^1 mathrm{,d}z int_0^z rcdot 2pi rmathrm{,d}r\ &=frac{pi}{6}.end{aligned} end{equation*}    4. 证明函数项级数 $displaystyle{sum_{ntoinfty}x^3e^{-nx^2}}$在 $[0,infty)$上一致收敛.  证明:  由[ (x^3e^{-nx^2})'=x^2e^{-nx^2}(3-2nx^2)left{begin{array}{llright.>0,&0<x<sqrt{frac{3}{2n}},\<0,&x>sqrt{frac{3}{2n}}end{array}} ] 知[ max_{xin[0,infty)}x^3e^{-nx^2}=left(frac{3right){2n}}^frac{3}{2}e^{-frac{3}{2}}. ]由 WeierstrassM-判别法即知结论.    5. 讨论级数 $displaystyle{sum_{n=3}^infty ln cosfrac{pi}{n}}$ 的敛散性.  解答:  由[ lim_{ntoinfty}frac{lncosfrac{pi}{n}}{frac{pi^2}{2n^2}}=lim_{xto0}frac{ln cos x}{frac{x^2}{2}} =lim_{xto 0}frac{sin x}{xcosx}=1 ] 知[ sum_{n=3}^inftylncos frac{pi}{n}=-sum_{n=3}^infty left[-lncosfrac{piright]{n}} ] 绝对收敛.    6. 设函数 $f:mathbb{R}^nto mathbb{R}$ 在 $mathbb{R}^nbs left{bb0right}$ 可微, 在 $bb0$ 连续, 且[lim_{bbxtobb0}frac{partialf(bbx)}{partial x_i}=0, i=1,2,cdots,n. ] 证明 $f$ 在 $bb0$ 可微.  证明:  由begin{equation*} begin{aligned} |f(bbx)-f(bb0)|&leq |f(x_1,x_2,cdots,x_n)-f(0,x_2,cdots,x_n)|\ &quad +|f(0,x_2,cdots,x_n)-f(0,0,cdots,x_n)|\&quad+cdots +|f(0,0,cdots,x_n)-f(0,0,cdots,0)|\ &=sum_{i=1}^nleft|frac{partialfright|{partial x_i}(bbxi_i)}cdot |x_i| end{aligned} end{equation*} 知[ lim_{bbxtobb0}frac{|f(bbx)-f(bb0)}{|bbx|}=0. ] 故有结论.    7. 设 $f(x),g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $displaystyle{max_{xin [0,1]}f(x)=max_{xin[0,1]}g(x)}$. 证明: 存在 $x_0in [0,1]$, 使得[ e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0). ]  证明:  设[ f(x_1)=max_{xin [0,1]}f(x)=max_{xin [0,1]}g(x)=g(x_2). ]  item 若 $x_1=x_2$, 则取 $x_0=x_1=x_2$ 即有结论. item 若 $x_1neq x_2$, 不妨设 $x_1<x_2$, 则[ h(x)equiv f(x)-g(x)Rightarrow h(x_1)geq 0geq h(x_2). ] 由连续函数的介值定理, [ exists x_0in[x_1,x_2],mathrm{ s.t. } h(x_0)=0Rightarrow f(x_0)=g(x_0), ] 而也有结论成立. en    8. 设 $Omega=left{bbxinmathbb{R}^3; |bbx|leq 1right}$. 设 $V:mathbb{R}^3tomathbb{R}^3$,$bbV=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场, $bbV$ 在 $mathbb{R}^3bs Omega$ 上恒为零, $displaystyle{frac{partial V_1}{partial x}+frac{partial V_2}{partialy}+frac{partial V_3}{partial z}=0}$ 在 $mathbb{R}^3$ 上恒为零.  item 设 $f:mathbb{R}^3to mathbb{R}$ 是 $C^1$ 函数, 求 $displaystyle{iiint_Omega nabla fcdot bbVmathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z}$.item 求 $displaystyle{iiint_OmegaV_1mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z}$. en  解答:  begin{equation*} begin{aligned}0&=iint_{pOmega} fbbVcdotbm{n}mathrm{,d}S\ &=iiint_OmegaDiv(fbbV)mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z\ &=iiint_Omega nablafcdotbbV+fDiv bbVmathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z\ &=iiint_Omeganabla fcdot bbVmathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z. end{aligned} end{equation*}特别地, 取 $f(bbx)=x_1$, 有[ iiint_Omega V_1mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z=0.]    9. 设 $f:mathbb{R}tomathbb{R}$ 是有界连续函数, 求 $displaystyle{lim_{tto 0^+}int_{mathbb{R}}frac{t}{t^2+x^2}f(x)mathrm{,d}x}$.  解答:  设 $displaystyle{M=sup|f|<+infty}$. 由 $f$ 在 $0$ 连续知对任意固定的 $varepsilon>0$,存在$delta>0$, 使得当$|x|<delta$ 时, $displaystyle{|f(x)-f(0)|<frac{varepsilon}{2pi}}$.又对该$delta>0$, 由 $displaystyle{lim_{tto0^+}arctan frac{delta}{t}=frac{pi}{2}}$ 知[ exists T>0,mathrm{ s.t. } 0<t<TRightarrowfrac{pi}{2}-arctan frac{delta}{t}<frac{varepsilon}{Mdelta}. ] 于是当 $0<t<T$ 时, begin{equation*} begin{aligned}&quad left|int_{mathbb{R}right| frac{t}{t^2+x^2}f(x)mathrm{,d}x-pif(0)}\ &leqint_{mathbb{R}} frac{t}{t^2+x^2}|f(x)-f(0)|mathrm{,d}x\ &=int_{|x|geqdelta}+int_{|x|leqdelta} frac{t}{t^2+x^2}|f(x)-f(0)|mathrm{,d}x\ &leq2Mint_{|x|geqdelta}frac{t}{t^2+x^2}mathrm{,d}x +frac{varepsilon}{2pi}int_{|x|leqdelta}frac{t}{t^2+x^2}mathrm{,d}x\&=4Mint_delta^inftyfrac{1}{1+left(frac{xright){t}}^2}mathrm{,d}frac{x}{t} +frac{varepsilon}{pi}int_0^deltafrac{1}{1+left(frac{xright){t}}^2}mathrm{,d}frac{x}{t}\ &=4Mleft(frac{piright){2}-arctanfrac{delta}{t}} +frac{varepsilon}{pi}arctan frac{delta}{t}\ &<frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2}\&=varepsilon. end{aligned} end{equation*} 故[ lim_{tto 0^+}int_{mathbb{R}} frac{t}{t^2+x^2}f(x)mathrm{,d}x=pif(0). ]    10. 设 $f:[0,1]to [0,1]$ 是 $C^2$ 函数, $f(0)=f(1)=0$, 且 $f''(x)<0$, $forall xin[0,1]$. 记曲线 $left{(x,f(x));xin [0,1]right}$ 的长度为 $L$. 证明: $L<3$.  证明:  由 Rolle 定理, [ exists xiin (0,1),mathrm{s.t. } f'(xi)=0. ] 又由 $f''<0$ 知[ f'(x)left{begin{array}{llright.>0,&0<x<xi,\ <0,&xi<x<1.end{array}}] 于是begin{equation*}begin{aligned} L&=int_0^1 sqrt{1+f'^2(x)}mathrm{,d}x\ &=int_0^xi+int_xi^1 sqrt{1+f'^2(x)}mathrm{,d}x\ &<int_0^xi [1+f'(x)]mathrm{,d}x+int_{xi}^1[1-f'(x)]mathrm{,d}x\ &=xi+f(xi)-f(0)+(1-xi)-[f(1)-f(xi)]\ &=1+2f(xi)\ &leq 3. end{aligned} end{equation*}