今天参加研究生复试，看到如下题目：

设 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=l\neq 0$, 且 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛. 试问 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 是否一定收敛? 若收敛, 证明之; 若不一定, 则举出例子.

Dr. W.K. Tan 给出了如下解答: $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 不一定收敛. 比如 $a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}, b_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$.

Mr. W. Zhang 也提供了谢惠民的《数学分析习题课讲义》中的给的例子：