1. 在线性空间 $P[x]_3$ 中, 求基 $x+1,x+x^2,x^2$ 到基 $1,x^2-x,x^2+x$ 的过渡矩阵. 并求向量 $1+2x+x^2$ 这两组基下的坐标.

2. 设 $Ain P^{mtimes n}$, 求证: $rank(A)=r$ 的充要条件是存在秩为 $r$ 的矩阵 $Bin P^{mtimes r}$ 和秩为 $r$ 的矩阵 $Cin P^{rtimes n}$, 使得 $A=BC$.

3. 设方程 $x_1+x_2+cdots+x_n=0$ 的解空间为 $M$, 方程组 $x_1=x_2=cdots=x_n$ 的解空间为 $N$, 求证: $R^n=Moplus N$.

4. 设 $mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换, $ker mathscr{A}={alphain V;mathscr{A} (alpha)=0}$. 求证: 存在自然数 $r$, 使得 $ker mathscr{A}^r=ker mathscr{A}^{r+1}$, 且对于任意自然数 $s$, 均有 $ker mathscr{A}^r=ker mathscr{A}^{r+s}$.

5. 设 $mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换, 且 $mathscr{A}^2=mathscr{E}$ (恒同变换). 证明: 存在 $V$ 的一组标准正交基, 使得 $mathscr{A}$ 在此基下的矩阵是 [left(begin{array}{cc}E_r&\&-E_{n-r}end{array}right)], 其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵.

6. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称正定阵. 求证: 存在唯一的实对称正定阵 $B$, 使得 $A=B^2$.

7. 设 $A,C$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵, 并且 $A$ 为负定矩阵, 而 $C$ 为正定矩阵. 证明: 若矩阵方程 $AX+XA+2C=0$ 有唯一解 $X=B$, 则 $B$ 必为实对称正定矩阵.

参考解答见家里蹲大学数学杂志第233期 http://bbs.sciencenet.cn/thread-1151461-1-1.html。