对 $f,g\in C_c^\infty$, 我们可以定义卷积如下

\[(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)\mathrm{d}y.\]

而有

1. Young 不等式 \[||f*g||_r\leq ||f||_p||g||_q,\quad 1\leq p,q,r\leq\infty, and \frac{1}{r}+1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.\]

2. 若 $f\in L^p,  g\in L^{p'}, 1<p<\infty$, 则 $f*g\in C_0$, 即在无穷远处趋于 $0$ 的连续函数.

3. 若 $f\in L^1, g\in L^\infty$, 则 $f*g\in BUC$, 即有界一致连续函数.

4. $\tau_a(f*g)=(\tau_a f)*g=f*(\tau_a g)$, 其中 $\tau_a f(\cdot)=f(\cdot-a)$ 是平移.

5. 若 $f\in C^k$, 则 $D^\alpha(f*g)=(D^\alpha f)*g$, 对任意的 $\alpha: |\alpha|=k$.