1. (15') 设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 $3$. 已知 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 是它的三个解向量, 且
       \[\eta_1=(2,3,4,5)^t, \quad \eta_2+\eta_3=(1,2,3,4)^t\]
       求该方程组的通解.

2. (15') 设 $A$ 为正定矩阵, 证明它的伴随矩阵 $A^*$ 也是正定矩阵.

3. (15') 设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵. 证明:
       \[    rank(AB)\geq rank(A)+rank(B)-n.    \]

4. (15') 设 $U,W$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个子空间, 且 $dim U+dim W=n$. 求证: 存在 $V$ 的线性变换 $\mathcal{A}$ 使得 $\mathcal{A}^{-1}(0)=U$, $\mathcal{A}(V)=W$.

5. (15') 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上所有 $n$ 阶对称矩阵关于矩阵的加法和数乘构成的线性空间. 令
      \[ U=\left\{A\in V; tr A=0\right\},\quad W=\left\{\lambda E; \lambda\in \mathbb{F}\right\},\] 其中 $E$ 为单位矩阵, $tr A$ 为 $A$ 的对角元素之和.
      (1) 求证 $U,W$ 为 $V$ 的子空间;
      (2) 分别求 $U,W$ 的一组基与维数;
      (3) 求证: $V=U\oplus W$.

6.  (15') 设 $\mathcal{A}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的对称线性变换, $\alpha\in V$, 且 $|\alpha|=1$. 证明:
      (1) $|\mathcal{A}(\alpha)|^2\leq |\mathcal{A}^2(\alpha)|$; (2) 当且仅当 $\alpha$ 是 $\mathcal{A}^2$ 的属于特征值 $\lambda=|\mathcal{A}(\alpha)|^2$ 的特征向量时, (1) 中的等号成立.

7. (10') 已知 $A_1,A_2,\cdots,A_k$ 为 $n$ 阶实对称矩阵 $(k\leq n)$, 且 $A_1+A_2+\cdot+A_k=E$. 证明下列条件等价:
   (1) $A_1,A_2,\cdots,A_k$ 都是幂等矩阵 (即 $A_i^2=A_i,1\leq i\leq k$);
   (2) $rank(A_1)+rank(A_2)+\cdots+rank(A_k)=n$.

参考解答见家里蹲大学数学杂志第232期。