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一个计算
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In[1]:= Psi[x_] = (4/Pi (x + Cos[x] Sin[x]) - 2 Sin[x])/Cos[x]^2
Out[1]= Sec[x]^2 (-2 Sin[x] + (4 (x + Cos[x] Sin[x]))/[Pi])
In[2]:= Limit[Psi[x], x -> Pi/2]
Out[2]= 1
In[3]:= Limit[Psi[x], x -> -Pi/2]
Out[3]= -1
In[4]:= Simplify[
Psi[x] - Sin[x] + Sin[x] Cos[x] D[Psi[x], x] -
1/2 Cos[x]^2 D[D[Psi[x], x], x]]
Psi[x] - Sin[x] + Sin[x] Cos[x] D[Psi[x], x] -
1/2 Cos[x]^2 D[D[Psi[x], x], x]]
Out[4]= 0
以上是 Mathematica 代码验证 Yau-Schoen书 Page 113 的引理。钟家庆与杨洪苍为了改进 Li-Yau 的关于第一特征值的下界估计 (Ricci>=0 的情形)，首先 observe 到了三角函数的性质，然后给出了一个非常 technical 的闸函数 (barrier function)--其选取相当于求一个线性 ODE。
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