博文
一维振动系统的力阻抗
||
Mechanical impedance in one-dimensional systems of vibration
南京大学声学研究所 王新龙
力（机械）阻抗的概念不但适用于集总参数的振动系统，也适用于弹性连续体的振动系统。运用力（机械）阻抗，不仅可以简化弹性体振动与波的相关数学分析，而且可以更有效地把握系统的整体振动性质。尤在处理边界或耦合振动等问题时，力（机械）阻抗分析法简洁高效，物理意义清晰。本文试以固体棒的纵振动为例说明之。
定义设沿x方向的棒横截面积为S，杨氏模量为E。根据胡克定律，棒的任意断面存在应变所致的应力：
其中ξ 表示棒的纵向位移，是棒中位置 x 和时间 t 的函数：ξ =ξ(x,t)。为了达到力平衡，必须存在-F的“外力”克服此应力，使其产生速度v。一如集总参数系统，定义位于 x 断面处的力（机械）阻抗为：
（1）
注意，（1）此处的声学量均用复数表示；（2）力是有方向的，而定义中假设力的方向指向x正向；（3） 一般而言，力阻抗是空间位置x的函数。 对于棒中频率为ω、波数为k的正向行波，
根据定义，其力（机械）阻抗
（2）
其中ρ是棒材密度，c是棒的纵波声速。可见，行波力（机械）阻抗是常数，且为纯阻，为材料的特性阻抗（密度和声速之积）ρc与棒的横截面积S之积。行波力阻抗之所以呈现阻性，蓋因随波传播而有能量传递之故。反向行波的力阻抗与（2）式给出的符号恰好相反。
例一，一端自由、一端受迫驱动的棒。设x=0是自由端、x=l端受频率为ω的简谐力F的驱动。棒的稳态位移表达式为
其中A是幅度常数，与外力振幅和棒参数有关【1】。代入定义公式（1），并注意外力作用在x=l面的负方向，故而在x=l处的力阻抗为 
可见，在驱动端棒的力阻抗是纯抗。力阻抗呈现为抗性乃驻波的一般性质，表明波能既未损耗，也未传播至棒外，而储存于棒中。对于驱动F而言，因频率的不同，棒既可以表现为惯性，也可以表现为弹性。对于短棒（棒长l远小于波长λ=2π/k，即kl<<1），tankl ≈ kl，上式可近似为：
即，棒可视为质量为Mm的质点，其Mm 是棒的质量。另一方面，如果棒长是半波长的整数倍（kl=nπ)，即驱动频率ω正好等于棒的简正频率，则力阻抗Zm等于零，因而发生强烈的共振。
例二，一端固定、另一端受迫驱动的棒。设x=0端固定，而x=l端受频率为ω的简谐力F的驱动。棒的唯一表达式为
其中幅度常数A与驱动振幅和棒的参数有关【1】。代入定义公式（1），并注意外力作用在x=l面的负方向，故而在x=l处的力阻抗为
可见，棒的力阻抗也是纯抗。对于低频短棒（kl<<1），cotkl ≈ 1/(kl)，则
即，棒可视为弹性常数为Km的弹簧。若计入kl的二阶小量，即
代入上列Zm的表达式，得到
其表明，棒可视为弹性系数为Km、具有分布质量Mm的弹簧。
边界与力阻抗连续在棒的任意边界处，棒位移和作用在横截面上的力连续【2】，而位移的连续必有速度的连续。因此之故，在边界（不妨设x=0）处，左侧（x=0-）的力阻抗Zm和右侧（x=0+）的力阻抗Zm必然相等：
所以， 边界上力阻抗是连续的。此结论之成立，不论边界两侧截面之大小以及两侧棒材料性质之异同，为处理复合棒振动提供了莫大的方便。例如，对于x=l端系有外部质量Me的棒而言，边界条件可直接表示为：
（3）
阻抗转移公式设棒均匀，即棒的横截面、密度和杨氏模量均为常数，其一般的纵振动位移场可表为
其中第一项是正向传播的波，第二项是反向传播的波，系数 r 描述反向波相对于正向波的幅度大小（一般是复数，有时称为反射系数）。根据定义，得到任意位置x处的力阻抗为
（4）
假如已知 x=l 处的力阻抗，则得到方程
从中求得
代入（4）式，可以求得任意位置x处的力阻抗。特别是在 x=0 处， 、
（5）
其中Z0是棒的参考阻抗。此即所谓的 力阻抗转移公式。根据此公式 ，已知彼处的力阻抗，即可获知此处的力阻抗。
例一、长为l、一端自由的棒，自由端的力阻抗为0，则根据公式（5）其另一端的力阻抗为
与前述直接求得的一致。
例二、对于x=l处附加质量Me的棒而言，该端的力阻抗由公式（3）的惯性抗给出，代入上式可求得x=0处的力阻抗：
此仍为一纯抗Xm。这里的m是棒的质量。从中可以清楚地理解质量负载对输入端（x=0）力学性质的影响：（a）如果kl=nπ（棒长是半波长的整数倍），则Xm=ωMe，仿佛棒不存在而质量直接附加在x=0端；（b）对于短棒（kl<<1），力抗Xm可近似为
即为棒的质量和附加质量惯性抗之和；（c）如果kl=(2n-1)π/2，（n=1，2，3，...），则
它表明，对于输入端x=0而言，棒和附加的负载质量复合而成的系统相当于一个弹性系数Km = (ρcS)2/Me的弹簧！
要强调的是，力阻抗转移公式之适用条件是均匀棒。
边界力阻抗连续和均匀棒力阻抗转移公式构成了分析复合系统声学性质的强有力手段。
【1】参见杜功焕等编著《声学基础》76-77页。 【1】参见杜功焕等编著《声学基础》77页例7。
https://blog.sciencenet.cn/blog-285476-1421215.html
上一篇：导纳型力电类比
下一篇：全反射状态的声场与声能流
