博文
导纳型力电类比
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南京大學聲學研究所 王新龍
力有贯穿力学部件之效，恰似电流经电路元件。欲测量力的大小，非使测力仪介入其间不可，正如电流计必须串联于电路之中。决定力学部件（如质量）运动快慢者，乃该力学部件两端的相对速度差，犹电学元件两端之电位差。把拾振器附于力学部件即可测量该部件的速度，测量动作不会对系统的运动产生实际影响，与测电压相类。所以，力类比于电流，速度类比于电压，极顺乎自然。依此，遂有所谓的导纳型力电类比方法。何谓导纳型类比？力阻抗类比于电导纳也！或曰：阻抗与导纳乃相反互逆之概念，数学上互为倒数，何以类比？力阻抗是作用于力学系统的力与系统所响应的速度之比，而电导纳是流经电路的电流与其两端的电压差之比。既然力类比于电流、速度类比于电压，其比值岂非类比电路之导纳？本文力图阐明导纳型类比之妙，以加深课堂所学。
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首先观察电学的R-L-C并联电路，如图一（a）所示。图中元件符号的下标“e”表示“电的”，以别于以下标m标记的力学元件。在此电路中，总电流 I 在节点处产生三个支流，分别流经电容Ce、电阻 Re 和电感 Le。由于各元件两端的电压差同为E，各支路电流分别为
（1）
根据电荷守恒定律，流入的电流 I 等于这些分支流出的电流之和，
（2）
并联电路的稳态特性可很方便地用电导纳 Ye 刻画，其定义为
（3）
因此，此并联电路系统的响应电流与两端电压差的关系为 
（4）
图一，（a）R-L-C并联电路，（b）单振子R-M-K类比并联线路
再考察外力F作用下，由质量Mm、力阻Rm、力顺Cm组成的单振子。作用在三个力学部件上的力分别为惯性力、阻力和弹性力，依次为
（5）
其中力导Gm和力顺Cm分别为力阻Rm和弹性系数Cm的倒数。根据牛顿定律，外力F等于三者之和， 、
（6）
公式（1）与（5）以及（2）与（6）形式相同，所以存在如下的类比关系：
（7）
据此，可直接画出与电学线路图一（a）类比的类比力学线路图（b）。力学系统中的力——在线路中称为“力流”——类比于电路中的电流，速度差类比于电压差。要特别强调，是 力导Gm 而非力阻Rm 类比于电阻。图一的（a）和（b）两个线路图稍有不同，一含恒压源，一含”恒流源“。但此非本质差异：若对单振子施加恒速v，则图（b）中的恒流源就被“恒压源”取代；反之亦然。在稳态情形下，类比关系（7）表明，
（8a）
即 力阻、质量（惯性）抗和力顺（弹性）抗悉取倒数， 分别类比于电路的电阻、容抗和感抗。此 反类比之谓也！因数学上质量（惯性）抗之倒数恰表现为力顺（弹性）抗，而力顺（弹性）抗之倒数恰表现为质量（惯性） 抗，故在导纳型类比线路图中迳取电容符号表示质量Mm、取电感符号表示力顺Cm，而力导Gm则仍借用电阻符号。仿电学公式（3），可以定义类比线路 （b）的稳态输入导纳——稳态输入力流除与两端稳态速度差之比。根据公式（6），此比值为
（9）
而从类比线路来看，上式右端实为各支路导纳之和。可见，虽然所求的是线路的输入导纳，但结果却是力学系统的力阻抗Zm，即 力阻抗Zm 类比于电导纳Ye，
（8b）
反之， 力导纳类比于电阻抗。此正所谓 导纳型类比。在此类比中，力阻抗在线路中表现为导纳，或者在线路分析中必须把Zm视为导纳。类比关系（8）易令人迷惑，读者须深察其义。对应于（4）式，存在如下“力流”与“压差”——速度差——之间的关系，
（10）
所以，Zm确实扮演着“导纳”的角色。公式（2）实际上就是电路中的基尔霍夫定理，而公式（6）是力平衡条件，两者相类比，
（11）
分别构成电路分析和力学分析之基础。一旦画出如图一（b）所示的类比线路图，余下就是严格按照电路分析法求解。
最后，由于力类比于电流，速度类比于电压，故在导纳型类比力学线路中，外部驱动恒力类比于恒流源，外部驱动恒速类比于恒压源。
【例】 如下图左图是耦合弹簧质点系统，外力F作用在质量1上，驱动系统振动，其类比导纳型线路如下图二所示。在质量1处，外力产生三个并联分支力流，即作用在质量 Mm1上的惯性力，作用在力阻 Rm1的阻力，以及作用在弹簧 Km1=1/ Cm1上的弹性力，已达到力平衡，其中 Mm1类比于电容，G m1=1/ Rm1类比于电阻， Cm1=1/ Km1类比于电感。“流”经力顺 Cm1之力，又作用在质点 Mm2上，与 Mm2的惯性力、阻力和弹性力相平衡，形成并联力“支流”，其中质量 Mm2类比于电容，力导 Gm2类比于电阻，力顺类比于电容。
图二，上：耦合质点系统，下：类比线路。
根据类比线路图，并应用电路理论，可以非常方便地求出耦合系统的一切力学量。只是，在分析类比线路时，切记按电路的方法来处理类比元件。例如，“2”点处的等效导纳是
，（并联线路导纳相加）
虽然， Zm2 实际上 是力阻抗，但在线路中必须视为“导纳”。该“导纳”与“电感” Cm1串联，两者之总“导纳”是
，（串联电路阻抗相加，其和之倒数是导纳）
实际上，它就是力学系统的输入力阻抗 Zm（电导纳类比于力阻抗），
，（并联电路导纳相加）
图二的导纳型类比线路，也可转换为阻抗型（正类比）类比线路，其结果当然完全相同。
导纳型与阻抗型类比线路的相互转换
视问题的需要，阻抗型类比线路可以转换为导纳型类比线路；反之亦然。
设有如图三（a）左图所示的阻抗Zm1和Zm2构成的阻抗型串联线路，“流经”两阻抗的速度“流”为v，则此串联线路之总阻抗Zm以及作用其上之力 F 分别为：
（12）
以上两公式可等价地改写为： 
（13）
在阻抗型线路中， Zm1-1、 Zm2-1和 Zm-1无疑是相应元件的导纳。现在我们转变观念，“反其道而行之”，把 Zm1-1、 Zm2-1和 Zm-1视为“阻抗”，F为“流”，v为“压差”。如此，公式（13）的第一式所描述的是，两并联支路的“导纳”（1/ Zm1-1、1/ Zm2-1）之和等于总“导纳”1/ Zm-1。现在，支路的“阻抗”分别为 Zm1-1和 Zm2-1，并联总阻抗为 Zm-1。公式（13）的第二式表示力“流”F在“阻抗” Zm-1上产生的“压差”为v。如此，下图三（a)左图的阻抗型串联线路转换成了右图的导纳型并联线路。切记，右图中的 Zm1-1、 Zm2-1现在是元件的“阻抗”值！其颠倒乎？
图三、阻抗型线路转换为导纳型线路
例如，下图四（a）是Rm-Mm-Cm单振子的阻抗型类比线路。该电路有三个串联元件构成，其阻抗分别为Rm、jωMm和1/(jωCm)。根据上述规则，这三个串联的元件转换为三个并联的元件，分别用电阻符号、电容符号和电感符号表示，其阻抗依次为Gm=1/Rm 、1/(jωMm)和jωCm，如有图（b）所示。此外，左图（a）的恒压源F转换为右图的恒流源F，而左图（b）线路中的“电流”v转换为右图线路中三个元件两端的“电压”。
图四 （a）质点振动系统的阻抗型类比线路，（b）质点振动系统的导纳型类比线路
阻抗型并联线路转换为导纳型串联线路：
设有如图三（b）左图所示的阻抗型并联线路，速度“流”v产生分支，分别“流”经阻抗Zm1和阻抗Zm2，系统的输入阻抗Zm以及力（压差）与速度（流）的关系分别为
（14）
同样，上列公式可写成
（15）
现在把 Zm1-1、 Zm2-1和 Zm-1 视为“阻抗”，力F视为“流”，速度v视为“压差”，则公式（15）表示力“流” F 流经”阻抗“分别为 Zm1-1和 Zm2-1的串联线路，总“阻抗”为 Zm-1，其两端的”压差“为v。如此，即有图三（b)左图的阻抗型并联线路转换为右图的导纳型串联线路。 切记，现在在图三（b）的右图线路中， Zm1-1和 Zm2-1分别分别是元件的“阻抗”值！
反之，也可以把导纳型的线路转换为阻抗型的线路。例如，如果上图三左边的两图均为导纳型线路，则可分别转换为图三右图的阻抗型线路。 转换规律： 一种类比线路中的串联（并联）元件，转换为另一种类比线路中的并联（串联）元件，其值分别为原串联（并联）元件值的倒数，原线路的“流”与“压差”分别转换为新线路中“压差”和“流”。
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