余既定3月14日为数学节，不妨再定今日为艺术节——假如要选一个艺术美的准则，最直观的大概就是0.618。3.14名曰pi，618名曰phi（美国数学家Mark Barr赐的嘉名），多一个h，仿佛提升了一个境界。pi是自然的，phi则含有人的因素，那么h就代表人了。那么从圆周率到黄金分割的进步（从超越数进化到不那么超越的无理数），代表了人的进步。难怪文艺复兴的绘画和建筑有那么多的黄金分割。开普勒说几何有两宝（勾股定理和黄金比），一个用来度量黄金，一个用来鉴别珍宝。（Geometry has two great treasures; one is the Theorem of Pythagoras; the other, the division of a line into extreme and mean ratio. The first we may compare to a measure of gold; the second we may name a precious jewel.）他的想法似乎和我差不多；我不喜欢勾股定理，宁愿用圆来代替。

   巧的是，早在文艺复兴以前，比萨的Leonardo（即Fibonacci）的数列能生成phi，中学时我独自发现了这一点，感觉太神奇了；那会儿还不懂极限和收敛的概念，只是直观地用极限的方程来代替“兔子序列”的递归关系。

   更令人惊奇的还是自然产生的phi，如花瓣、松果、树枝、贝壳、龙卷风乃至螺旋星系……从这儿很容易看出对数螺线与黄金分割的关系：一定的螺线与射线的交点序列近似为Fibonacci序列。自然生成的phi也许是因为螺旋生长，鹦鹉螺做了很好的榜样。D'Arcy W. Thompson在《论生长与形态》（On Growth and Forms）里专门讨论了这种“等角螺线”生长。借他的话来说，那不是形态，而是态度（it is rather a position, or an attitude, thana form）。也许没有什么物理或动力学的法则，却一定有数学的生长法则（it follows from all this that there cannot be a physical or dynamical, though there may well be amathematical law of growth. nature at least exhibits in them all 'un reflet desformes rigoureuses qu'étudie la géométrie'.后面半句法语我不认识）。

   自然的生长当然不是为了数学，也不是为了美，但结果是数学美。这本身也是自然教我们的一课；我们既能自觉地欣赏美，那么在美的原则下寻找和构造自然律，岂非最简单不过的了？这是向阳花和鹦鹉螺都明白的道理。

鹦鹉螺的曲线