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彩虹的自然哲学
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曾在《科学美国人》读过一篇从一滴水珠看见十二道彩虹的文章，还抄录了两段（可惜没注明在哪一期，现在不容易查找原文了）：
我回过头去张望天空，恰好这时出现了第二道虹，比第一道稍高一些。我看了祖母一眼，知道事情麻烦了。她几乎合着我们摇晃的节奏，向我提出一个又一个问题：为什么较高的一道虹更宽？为什么较高那道虹的颜色顺序正好与第一道的相反？为什么两道虹之间的天空比周围的天空暗淡？紧靠第一道虹下边和紧靠第二道虹上边的狭窄而微弱的弧拱是什么？还有，如果能有两道虹，为什么不能有更多的？为什么不能满天都是彩虹……事实上，天空应该是布满彩虹的，但很少看见两道以上的虹……偶然出现的副虹要求光线有两次内反射。更多的内反射会形成更高次的虹，但比起天空的背景眩光来，它们显然太微弱，很难分辨。
虹是光线的折射形成的，那怎么样呢？满足Snell定律。遗憾的是，我们的物理课本在讲这个定律时，没有进一步解说为什么会那样。我们要像老奶奶那样问，光线为什么会走那条路线呢？那似乎一点儿也不自然啊——另外，假如没有正弦函数，我们如何理解那个现象，还能揭示那个法则吗？
能啊，尽管有点儿事后诸葛亮。其实，我们能以更美妙的形式来说明光的路径。且说1630年，伽利略提出一个简单问题：“质点在重力作用下从一点到不在它垂直下方的另一点，沿什么曲线最快？”这个问题的高明在于它在追问时提出了过程应该实现的“目的”（最快），而不仅仅是过程的形式（怎么运动）——我们如今还有很多同学不会提这样的问题，而只会描述眼前看到的东西。有些经验科学总是停留在原地，就因为没有习惯提出这些超越经验的问题。
扯远了，还说伽利略。当年，他想当然地认为路径是一个圆弧——那时还没有引力定律和牛顿第二定律，能从直线以外考虑，也是了不起的；而圆弧继承了传统的“圆满”理想，即自然满足最美、最简单的法则。这也是我们今天需要发扬光大的。很多同学用面目可憎的回归曲线来描述自然法则，那简直是对自然的亵渎！虽然美的不一定真，但真的一定不丑——丑恶的数学形式一定不能代表大自然的法则，记住这一点，我们的科学游戏会更加美妙可爱。哦，又扯远了。
接着说，1696年，Johann Bernoulli重提这个问题，向全欧洲的数学家挑战（也有故事说是兄弟两个的竞争）。这就是所谓“最速降线”（the line of quickest descent），它有一个专门的名词：Brachistochrone。牛顿、莱布尼兹、Jakob Bernoulli等人都提交了答案，发表在同一期Acta Eruditorum 。现在我们当然知道结果（如果学过高等数学而不知道这个结果的，那学分就浪费了），是“摆线”（或旋轮线：圆在直线上滚动时，圆周上的一个固定点的轨迹），也就是惠更斯在1673年就发现的“等时曲线”（tautochrone）：不论质点从曲线的什么地方开始启动，它落到终点的时间都一样。
超级业余数学家Fermat（1601或1607/8 ~ 1665）早就猜想光线在两点之间走时间最短的路线。这就是Fermat 原理。光线发生折射，就是为了实现“最速下降”，用最短的时间来照亮我们。所以，即使我们不做实验，也能想象Snell定律，而且比它更深刻。
如今城里堵心，城外缺地，我们可以幻想在地球内部打隧道（地铁太短、太浅，还不足以表现与地面道路的区别），从一个城市直通另一个城市。那么地球内部的“最速隧道”应该走什么路线呢？因为地球内部的引力场与地面的不同（它与半径成正比呢），所以结果也不同——有人计算，隧道应该是“内摆线”：小圆在大圆内滚动时，小圆上的一固定点的轨迹——正好跟“外摆线”（地面的最速降线）相对应。
“最速降线”是变分法的第一个例子，也是多数变分法教科书的引子。我们从这儿看到，摸得着东西（粒子）的与摸不着的东西（光）都遵从一样的法则——地下的与天上也有一样的法则：节约的法则。200多年前Pierre Louis Maupertuis就提出了这样的法则（更早的先驱就不清楚了）：“自然的一切行为都讲节约。”（Nature is thrifty in all its actions）。动物的运动，植物的生长，也都满足这个法则。节约的东西是什么呢？奇妙就在这儿——它不是一个可以度量的物理量，如能量、动量，而是一个过程量，叫“活力”（vis viva），现在叫“作用量”，即能量（其实是Lagrangian）与时间的乘积。
所以，这个法则的推广，就叫“最小作用量原理”。它是大自然最美妙的法则，一切自然过程，所有的动力学方程，不论经典的还是相对论和量子论的，都可以通过它推演出来。自然就是这样通过极端达成圆满。对牛顿定律，我们可以不说F = ma，而说，物体从一点运动到另一点，应满足动能减去势能的平均值为最小。
Feynman在他著名的《物理学讲义》（第二卷）里，专门写了一章的题外话来讲他学习最小作用量原理的美好回忆：
当我读高中时，物理老师有天在课后叫住我，“你好像挺无聊的，我给你说点儿有趣的事儿吧。”接着，他给我讲了些我感觉绝对迷人的东西，而且从那以后，一直那么感觉……那就是最小作用量原理（the principle of least action）。
又生感想了：我们的中学老师会给学生讲这个原理吗？甚至很多大学老师也没讲过——我想，如果同学能从普通物理学熟悉这个法则，比学会计算一个力学系统的运动，要有意义得多。
那么，粒子凭什么去找那条最小作用量的路径（世界线）呢？Feynman为它提出了一个量子力学的解释：粒子在起点和终点间的所有路径溜达，所有路径都对运动有贡献，其概率振幅正比于exp(iS)，S即作用量，其大小决定了运动是经典的还是量子的。只有接近最小量的路径才有大的几率，也就是“现实的”路径。霍金进一步推广了这个思想，认为宇宙也在无限多的可能中进行选择，而且以此来解决他的信息疑难。
对光来说，它寻找那条路线，就是为了给我们献上一道道彩虹。看来，自然的境界比任何人的境界都高，当我们不为某些人的理论感动时，就学习自然吧；当我们为身边的事物烦恼时，就仰望星空吧。好的自然观，会转化成好的人生观。
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