也谈相对论与GPS的关系

——兼论讨论此关系时常见的认识误区

好长时间没谈相对论问题了。近来浏览科学网，发现前段时间曾热烈讨论过相对论与全球定位系统（Global Positioning System，GPS）的关系。反相者黄秀清老师的《真相与真理：爱的谎言，深入谷底的悲哀》痛斥“没有相对论就没有GPS”的说法是爱的谎言，解释了为什么GPS能精准定位与相对论没有半分钱关系。赢得了众多科学网博友一片叫好。紧接着，拥相者姬扬老师连发两文，指出：“GPS定位必然要考虑相对论效应。如果不考虑相对论效应，各个GPS卫星之间就不可能保持时间上的同步。”徐令予老师则向两派同时开刀，痛批拥相者错得离谱，又责反相者“坚持说GPS系统与相对论无关”这一错误观点，引来科学网诸博友赞声不绝。究其分析，批拥相与黄秀清实合，责反相同姬扬无二，在根本上还是拥相之作。黄秀清对徐、姬的批评未作出有力回击。细观上述大作，问题还是不少。相对论与GPS的关系可以归结为以下几个问题：

1. GPS的时空体系是经典时空体系还是相对论时空体系？

2. 卫星原子钟不做速度效应和引力势场效应校正对GPS定位的准确性有多大影响？

3. 时钟的速度效应和引力势场效应是否能被经典物理学或洛伦兹理论接受？

4. 在什么条件下用速度效应和引力势场效应校正时钟应该算应用了相对论效应？

本文试从基本事实出发对上述问题做些讨论，看看相对论与GPS有无关系，并分析一下前述大作中的认识误区。

一、 GPS的时空体系是经典时空体系还是相对论时空体系？

GPS的时空体系是经典时空体系还是相对论时空体系，这个问题是相对论与GPS关系的根本问题。人们讨论相对论与GPS关系时却常常忘记先把这个问题搞清楚。我们先看一点基本事实。

全球定位系统是美国从上世纪70年代开始研制，于1994年建成。GPS由三个独立的部分组成：

1. 空间部分： GPS卫星系统。

2.地面支持系统：1个主控站（master control station，MCS），1个备用主控站（alternative master control station，MCS）4个专用天线（dedicated ground antennas），6个专用监测站（dedicated monitor stations），以及若干非专用监测站。

3.用户设备部分：接收GPS卫星发射信号，以获得必要的导航和定位信息，经数据处理，完成导航和定位工作。

GPS卫星系统最初由24颗GPS卫星构成，它确保任何时候在地球上的任何地点至少能见到其中的6颗卫 星。24颗卫星（２１颗主用、３颗备用卫星）在６个不同平面的轨道上绕地运行，倾角约55°，平面间隔60°。轨道高度约200,200千米，轨道半径约26,600千米。每颗卫星在一个恒星日内绕轨道两圈，其地面轨道固定。目前经过更新换代的GPS由32颗GPS卫星构成，任何时候在地球上的任何地点至少能见到其中的9颗卫 星，因此可靠性更高（其中6颗卫 星同时故障的可能性远小于3颗同时出现故障的可能性，24颗GPS卫星时6颗卫 星中3颗故障就可能短时间内影响定位）。

主控站和监测站监测卫 星位置和时钟时间，每天修正其位置信息和时钟时间。

GPS的时间体系是协调世界时（英：Coordinated Universal Time ，法：Temps Universel Coordonné），又称世界统一时间、世界标准时间、国际协调时间。在这一体系中，所有（卫星）时钟与主控站的标准钟对准后，它们两两之间也就对准了。也就是说，第三者可以对准另外两个时钟，即使另外两个时钟之间的速度与它们相对于第三者的速度不同（狭义相对论不承认第三者的测量,参见《回应李小文老师之问，有关光速不变原理的问答》）。（对钟）光速相对于地心为原点的非旋转惯性坐标系恒定为c，相对于观察者的光速为c+v或c-v（Sagnac效应），v是观察者相对于该坐标系运动的速度。GPS卫星不是同步卫星，并且在6个不同轨道做近圆周运动，因此，许多卫星两两之间有不同的相对速度，并且这些相对速度随它们的坐标位置不同而可能在不断变化。稍懂相对论的人不难明白，如果它们的时钟都与地面主控站的标准钟对准，根据狭义相对论的同时性的相对性，它们之间肯定是不对准的、不同步的。

GPS的基本空间体系是地心为原点的非旋转（伪）惯性坐标系。导航定位时所用地球旋转坐标系是由地心非旋转惯性坐标系转换而来。两卫星之间的距离与它们相对于地心或第三者（例如监测站）的速度无关（因此，不必考虑贝尔飞船佯谬）。

从前面对GPS的时间空间体系的描述，我们不难看出，GPS的时间空间体系是百分之百的经典时空体系。如果不是我们后面要讨论的卫星原子钟速度效应和引力势场效应校正，GPS真正与相对论一点关系都没有。

看到这里，拥相者会说卫星速度太慢，经典时空体系与相对论时空体系没有太大区别，因此使用简单的经典时空体系来实现对相对论时空体系的近似。因为相对论不承认第三者观测的有效性，所以只能两两对钟。哪个拥相者能把24个卫星的时钟两两之间两两对准，实现所有24个时钟之间的全面同步？这实际上是不可能实现的。一个排斥第三者观测有效性的理论似乎不可能实现24个时钟之间的全面同步。现代物理学者在实际工作中用的是洛伦兹理论，却常常误以为自己用的是爱因斯坦相对论。

很多拥相者可能会说卫星的时钟都与地面主控站的标准钟对准，也符合狭义相对论。这是因为他们不清楚洛伦兹理论与相对论的区别。大多数拥相者分不清洛伦兹理论与相对论的区别，一方面贬低洛伦兹、神化爱因斯坦，另一方面又把洛伦兹理论当成是爱因斯坦理论去解释洛伦兹效应（我在这里把拥相者所谓的“相对论效应”称为洛伦兹效应以避免概念混乱）。洛伦兹理论与爱因斯坦理论的不同在于洛伦兹时空本质上是经典时空，也就是说，洛伦兹理论是经典时空加上真实（物质的）、单侧的洛伦兹效应。爱因斯坦理论是由爱因斯坦时空“推导”出“观测的”、相互的洛伦兹效应。

把GPS的经典时空体系说成是洛伦兹时空体系也是可以的，但它肯定不是爱因斯坦的相对论时空体系。爱因斯坦的相对论时空体系主张同时性的相对性，在GPS的24或36个卫星时钟之间的全面同步中没有现实可操作性。至于GPS的对钟操作，那完全是经典对钟，有伽利略变换和麦克斯韦的（以太）电磁理论就可以了。经典对钟简单明了，地心非旋转惯性坐标系对应于局部优势引力场（和麦克斯韦的以太）。

二、卫星原子钟不做速度效应和引力势场效应校正对GPS的定位的准确性有多大影响？

GPS的差分定位原理，黄秀清老师解释得挺好。我就借一下他的图和说明。如图1所示，地球表面有一个GPS用户想知道自己在地球的具体坐标方位，在不同时刻（t_PA、t_PB、t_PC、t_PD）收到四个卫星的坐标和时间信息：

t_PA时刻：卫星A的坐标和时间是：{x_A,y_A,z_A，t_A}；

t_PB时刻：卫星B的坐标和时间是：{x_B,y_B,z_B，t_B}；

t_PC时刻：卫星C的坐标和时间是：{x_C,y_C,z_C，t_C}；

t_PD时刻：卫星D的坐标和时间是：{x_D,y_D,z_D，t_D}。

                                                       图1

假设信号的传播速度为c，根据初中物理：距离=速度×时间，我们可以得到以下四个方程：

       $\sqrt{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}}=c\times (t_{pi}-t_{i})$          (1)

其中i=A、B、C、D。该GPS用户即可确定自己的坐标方位（x、y、z）。

如果用户端时钟与卫星时钟同步且同样精准，有三颗卫星就够了。因为用户端时钟准确度比卫星时钟差很多，其读时{t_PA、t_PB、t_PC、t_PD}的误差是不可避免的，所以需要第四颗卫星形成四个方程来消除用户端时钟读时与标准时存在的误差δ。由下列公式（2）获得四个未知（x、y、z、δ）：

      $\sqrt{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}}=c\times (t_{pi}+\delta -t_{i})$    (2)

知道了差分定位原理，我们不难理解只要卫星位置信息准确、卫星时钟时间精确同步（不需要时间准确），GPS定位依然可以准确。卫星时钟因洛伦兹速度效应而变慢和引力势场效应而变快，只要同步变化，在卫星位置信息准确的条件下，GPS定位仍然准确。因此，GPS定位本身根本不需要考虑洛伦兹效应或相对论效应。

当然，卫星时钟的准确性也不是与GPS定位完全无关。卫星位置和时钟时间每天都在校准，在两次位置校准之间，卫星位置信息要通过轨道和时间信息推算出来。在两次时钟校准之间，卫星时间信息要依赖卫星自己的原子钟。我们知道，根据洛伦兹的时间膨胀公式

                                        $t'=t\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$                         (3)

t’为相对于以太（GPS系统中可认为是对应于地心惯性坐标系）以速度v运动的时钟的时间，t为相对于以太（对应于地心惯性坐标系）静止的时钟的时间。卫星在地心非旋转惯性坐标系的运动速度导致其时钟变慢，主控制站标准时钟在地心非旋转惯性坐标系的运动速度也导致致其时钟变慢，两者差值约为卫星时钟慢7微秒/天。

引力场的强度会影响时钟的运行速率，其关系为

                                  $t'=t\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}$                                    (4)

公式（4）中，t’为引力场中离质心距离为r的时钟的时间，t为离质心无限远处的时钟的时间，G为万有引力常数，M为产生引力场的质量。卫星时钟因引力势场产生时钟变慢，主控制站标准时钟也因引力势场产生时钟变慢，两者之差约为卫星时钟快45微秒/天。

上述运动速度的时钟效应和引力势场的时钟效应合计约为卫星时钟快38微秒/天。这些运动速度的时钟效应和引力势场的时钟效应对两次位置校准之间的位置信息还是有一定影响。只是其影响对GPS定位可以说是微不足道的。

因为GPS卫星速度（<4千米/秒）相对于光速来说是极慢的，38微秒/天的累积位置误差不大于15厘米/天，所以与GPS系统5米的定位精度、俄罗斯的GLONASS系统5-10米的定位精度比较，“相对论效应”的修正只占不到3%，可以说是微不足道的。卫星位置信息每天都在修正，因此，“相对论效应”的计时误差不会累积起来，说GPS系统不需要相对论并没有什么错。这些所谓“相对论效应”的修正是不是真应该算作相对论修正？这个问题我们下面再谈。很多相对论拥护者不认真学习，人云亦云，以为GPS系统的定位精度取决于光在时间误差内走过的距离，胡诌出不按“相对论效应”做修正，GPS系统每日定位误差超过11千米这样的胡话（38微秒乘以光速>11千米）。据说这种胡话竟成为北斗导航网的宣传材料，让人不能不为北斗导航的严谨性担忧。

GPS系统除了定位外，它还有授时及其它一些功能。因为卫星时钟时间每天都在根据主控制站的标准时钟校准，所以速度的时钟效应和引力势场的时钟效应只影响两次校准之间的授时精度。也就是说，不考虑速度的时钟效应和引力势场的时钟效应，GPS系统的授时功能基本不受太大影响。如果每天只校准一次，两次校准之间的累积误差范围在38微秒左右。时钟校准使之前的累积误差清零。根据速度的时钟效应和引力势场的时钟效应，在卫星时钟上天前调整时钟快慢可以提高卫星运行后两次时钟校准之间的授时精度。至于这种调整是否应算相对论效应修正，我们在下一节讨论。

三、时钟的速度效应和引力势场效应是否能被经典物理学或洛伦兹理论接受？

应用时钟的速度效应和引力势场效应对卫星时钟校正虽然对GPS的定位精度提高作用不大，但还是有一定意义的。我们面临的新问题是经典物理学、洛伦兹理论是否会拒绝这种校正。如果经典物理学、洛伦兹理论不拒绝这种校正，那么我们就不能说这种校正是相对论效应的校正。物理学的本质是发现和总结物理世界的现象及其规律。如果某一现象存在，物理学理论需要接受它的存在并作出自己的解释。时钟的速度效应和引力势场效应都是物理现象，经典物理学、洛伦兹理论和爱因斯坦相对论都可以接受它们并作出自己的解释。我们先说引力势场的时钟效应，即引力场强的位置时钟变慢，GPS卫星离地心比地面控制站更远，因此其时钟比地面时钟要快。这一效应不具有狭义相对论速度效应的相互性，经典物理学、洛伦兹理论和爱因斯坦相对论在解释这一现象时应该并无可观测的矛盾。

经典物理学是唯像理论，可以直接把时钟速率与引力势场的定量关系作为自己的理论解释。摆钟速率同样随引力势场变化，并不造成经典物理学的困难。而洛伦兹理论本身可以解释爱因斯坦相对论能解释的一切已观测到的物理现象。因为引力势场的时钟效应都以局部优势引力势场为背景，所以经典物理学、洛伦兹理论和爱因斯坦相对论在解释和应用这一现象时并无矛盾。我们只能说，根据引力势场的时钟效应把卫星所用原子钟在发射前调慢，是应用了引力势场的时钟效应这一物理现象，不能说这样做是应用了爱因斯坦相对论、否定了经典物理学和洛伦兹理论。正如太阳自东向西绕地球转和地球自西向东自转都会导致太阳从东方升起的表象，不能因为太阳从东方升起就说太阳自东向西绕地球转已经得到证明。只有当其他理论拒绝这一现象，而爱因斯坦相对论支持这一现象时，我们才能说这一现象证明爱因斯坦相对论、使用这一现象是应用爱因斯坦相对论。

时钟的速度效应应该是洛伦兹理论首先解释的。当时钟相对于以太运动时，其计时速率变慢，这一效应取决于时钟相对于以太运动的速度。现代洛伦兹理论支持者，例如美国的GPS专家Ronald Hatch，会把(地球)局部优势引力场作为以太背景。因为洛伦兹理论的时钟的速度效应具有共同背景，所以所有时钟可以根据同一标准对齐，并且根据同一标准对齐后，所有时钟也就两两对齐，这正是GPS系统的特征。而爱因斯坦相对论反对可以根据共同标准对齐所有时钟并保证所有时钟也就两两对齐（即爱因斯坦所谓的同时性的相对性）。在这一点上，GPS系统的设计原理不符合爱因斯坦相对论。

经典物理学是唯像理论，既然实验已经发现相对于局部优势引力场运动的时钟变慢，这一效应取决于时钟相对于局部优势引力场运动的速度，经典物理学可以把其定量关系作为自己的理论解释。因此，时钟的速度效应本身不能区分经典物理学与洛伦兹理论。

狭义相对论在解释GPS系统的时钟速度效应时有一些麻烦，因为GPS系统的时钟速度效应是根据地心惯性坐标系中的坐标速度计算的，而不是根据卫星两两之间的相对速度，所以GPS系统中由同一基准时钟标准达到卫星两两之间的时间同步完全拒绝了狭义相对论。当然，拥相者可以争辩说，不考虑、不采纳狭义相对论的观点是因为经典物理学和洛伦兹理论已经足够精确，不需要用更复杂、更精确的狭义相对论方法。

因为时钟的速度效应和引力势场效应可以被经典物理学或洛伦兹理论接受并应用，所以它们不否定经典物理学或洛伦兹理论，实际上，洛伦兹理论先提出时钟的速度效应，因而不能把它们只算作相对论效应。爱因斯坦相对论主张同时性的相对性，这种主张与GPS系统的设计原理（让不同相对速度的所有卫星时钟根据同一基准时钟全部同步）背道而驰。GPS系统的设计原理是百分之百的经典物理时空体系。

四、什么条件下用速度效应和引力势场效应校正时钟应该算应用了相对论效应？

先说引力势场的时钟效应，因为经典物理学和洛伦兹理论都不会拒绝已证实的物理现象，并且可以把这一现象融入自己的体系，所以基于局部引力势场的时钟效应对三种理论是中性的。不存在三者之间的不同看法，因此用医学术语说就是引力势场的时钟效应没有作为鉴别诊断的价值。

在时钟速度效应方面，爱因斯坦相对论主张同时性的相对性，这一点与经典物理学和洛伦兹理论明显不同，具有作为鉴别诊断的价值。但是GPS系统的设计原理让不同相对速度的所有卫星时钟根据同一基准时钟全部同步，说明GPS系统的设计原理及其卫星时钟调整是洛伦兹理论的。如果我们允许经典物理学唯像地解释时钟速度效应，那么GPS系统的设计原理及其卫星时钟调整也可以说是经典物理学理论的。只有当爱因斯坦相对论主张的同时性的相对性在GPS系统的设计中得到应用时，用速度效应和引力势场效应校正时钟才应该算应用了相对论效应。物理学家们在GPS系统与相对论的关系上纠缠不清，其主要原因是绝大多数拥相者分不清相对论与洛伦兹理论，把洛伦兹理论当成了相对论。其中包括徐令予老师主要依据的Neil Ashby, 兼听则明，徐令予老师应该也参考反相的洛伦兹拥护者、GPS专家Ronald Hatch的文章。

五、结论

1. GPS的时间空间体系是百分之百的经典时空体系。

2.根据速度的时钟效应和引力势场的时钟效应对GPS卫星时钟的调整对GPS定位精度的意义不大，基本上可以忽略。

3. 速度的时钟效应和引力势场的时钟效应不能只算作相对论效应。

4. GPS系统的设计原理不符合爱因斯坦相对论主张的同时性的相对性。

5.物理学家们在GPS系统与相对论的关系上纠缠不清，其主要原因是绝大多数拥相者分不清相对论与洛伦兹理论，把洛伦兹理论当成了相对论。

6.黄秀清老师的观点基本正确，虽然还有若干不足。

7.姬扬老师的观点“如果不考虑相对论效应，各个GPS卫星之间就不可能保持时间上的同步”是错误的。

8.徐令予老师把GPS系统中应用速度的时钟效应和引力势场的时钟效应只算作相对论效应的观点是错误的。

9. 爱因斯坦相对论的本质是以同时性的相对性为特征的相对论时空观。不采用相对论时空观的工程系统，最多也只是应用了洛伦兹理论，实际上完全可以用经典物理学的唯像理论来指导工程设计。GPS系统就是唯像地使用了速度的时钟效应和引力势场的时钟效应的经典物理时空体系，虽然速度的时钟效应和引力势场的时钟效应的应用对GPS系统的导航定位无足轻重。

10.GPS成功的基础/原理是经典物理学的同时性的绝对性，即只要所有时钟（32个卫星时钟）都与一个基准时钟对齐，所有时钟两两之间就也是对齐的。没有经典物理学的同时性的绝对性，就没有GPS。从原理上讲，如果相对论的同时性的相对性是正确的，两两之间不同速度的32个时钟就不可能全部同步，也就不会有GPS。

补记：

GPS不是为地心惯性系建造的，它还要为成千上万的飞机、火箭导航，必须为所有的用户对齐、同步，而成千上万的飞机、火箭速度、方向各不相同。

差分定位原理要求为GPS卫星为每一个用户对齐、同步，而不只是为地心惯性系或主控站对齐。而狭义相对论（的同时性的相对性）认为，当时钟在一个参照系中对准，在与第一个参照系有相对速度的另一个参照系中就是未对准的。也就是说，对主控站来说32个GPS卫星时钟对准了，相对于主控站高速飞行的飞船、火箭，32个GPS卫星时钟是未对准的。

狭义相对论的同时性的相对性否定了32个GPS卫星为所有的用户对齐、同步的可能性。

GPS依赖的是同时性的绝对性，因此，对主控站来说32个GPS卫星时钟（相互）对准了，相对于主控站高速飞行的飞船、火箭，32个GPS卫星时钟也是相互对准了。

2018年11月26日补记：有些拥相者说看不懂如何从公式（2）得到导航仪坐标x,y,z。公式（2）代表4个四元方程，其中只有四个未知数（x、y、z、δ），当然是可解的。这里把黄秀清老师博客解释差分定位原理的截图作为附件，以帮助他们理解。