I do not have the slightest intention to contribute in any way to those endless，often violent discussions on the subject：“What is the right conception of truth？”

——Alfred Tarski

1.语义学的背景

我们首先在理解“符号论”的基础上，理解包括卡尔纳普语义学在内的现代哲学中“语义学”这一语言哲学和语言学中的重要课题。

符号论（semiotic）是由美国分析哲学家Charles Morris，在前人珀斯（C.S.Peirce）和Ogden与Richards的哲学理论，结合分析哲学为背景的逻辑语法学的基础上，所提倡的用符号将语言形式化的理论。Morris的一个重要贡献就是区分了语言研究的符号论中的三个分野。

如果在研究中提及了语言的使用者，那么此研究将被划分到语用论（pragmatics）。

如果不提及语言使用者，只分析表达式（expression）自身和指示对象，我们将其划分到语义学（semantics）。

如果同时也将指示对象抽象化知讨论表达式之间的关系，我们称之为（逻辑）句法学（syntax）。

比如说关于对象语言（object language）“p∨～p”的以下几个元语言（metalanguage）描述中，“p∨～p”是定理。属于句法学的元语言，可以称之为语句计算（sentential calculus）；“p∨～p”是恒真式。这个表达属于语义学的元语言，可以称之为命题逻辑（propositional logic，下称PL）；X相信“p∨～p”。这个表达属于语用学的元语言，是信念语句（belief sentence）。

符号论在Morris那里又可以划分为纯粹符号论（pure semiotic）和记述符号论（descriptive semiotic）。纯粹符号论只与构造人工语言有关，主要任务是约定一整套语法规则，然后根据确立的规则只能导出不需要经验进行检验而先天（aprior）为真的分析的结果。纯粹符号论至少包括纯粹语义学和纯粹句法学。

其中纯粹语义学要区分于记述符号论中的记述语义学。记述语义学的对象是历史上给定的特定语言，比如说法语的语义学特征（后来用数学模型论的方法给英语提供形式语义的PTQ语义学算是此类，对此我目前了解的不多，大家可以参见各种百科词典中Motague Grammar相关词条），或者是记述和分析自然语言的普遍语义学特征。纯粹语义学的目的是制作形式化的语义学体系。此体系提供了描述对象语言中语句的真理条件（truth-condition），以此来确定这些语句的语义的各种规则。我们下面要详细说明的正是这些规则。

PS：至于语义学体系所使用的符号表达，我打算按照卡尔纳普的传统。有可能对罗素和怀特海Principia Mathematica的符号系统不太了解的读者会由于卡尔纳普的符号使用和目前教科书的通用标准不同而感到不适应，不过比较尽责的哲学逻辑的教科书中应该也会提到这种记法，所以关于这点问题不大。另有一点是由于卡尔纳普按照Tarski的思路区分了对象语言和元语言，而他所使用的记述元语言的符号是德文字体（German letters），辨识起来非常困难，没有提前了解的话估计很难看得懂，但是，我不打算做出让步去使用现在普遍使用的符号体系。在以下文章中我只会在有必要的情况下才介绍符号表记的含义，请对我文章的内容感兴趣的读者务必一读卡尔纳普的[I]§6。另外我的文章也会有个别符号表记方法和卡尔纳普不同的情况。

2.Tarski的真定义和语义学

语义学中最重要也是作为基础而存在的形式规则就是真理规则。（虽然这里所说的“真”其实无关于我们日常所谓的真理概念，但是我感觉“真规则”之类的术语实在是太容易产生误会了，很容易认为是个语气助词，所以我有时采用“真理”这个译法）为了理解卡尔纳普语义学中的真理规则，我们先来了解Tarski的真定义，以及两者的差别。（要注意这里虽然是对Tarski的真定义以及语义学规则的讨论，所使用的表记方式仍然是卡尔纳普的）

• 对象语言的语句在有限个的情况下对真理的定义：

S为真=df  S为æ ₁，且p₁；或者S为æ₂，且p₂，……，或者S为为æ_n，且p_n。其中“æ ₁”，“ æ ₂”，“ æ _n”是指称对象语言中的每个（n个）语句的作为元符号的定元，“p₁”，“p₂”，“p_n”是代替对应相同索引（号码）的对象语言的语句翻译成的元语言的语句所使用的符号。

我们下面来简单的举个例子说明一下在Tarski的语义学中的PL语义学体系中如何使用真理的定义来制定有效的真理规则。

• PL语义学体系：

1.形成规则（rule of formation）：是这个语义系统所采用的符号，以及用这些符号构建所有合理的逻辑式wff的规则。这里不赘述。

2.解释规则（rule of interpretation）：包括指称规则和真理规则

I：指称规则：

“A”指称 明天是晴天 这一命题（事态）。

“B”指称 明天有风 这一命题（事态）。

……

II：真理规则：这里只举一个S是语句定元（æ _i自身）的情况，S是～æ _i等的情况可根据这个规则类推

S为真= df S为“A”，且明天是晴天；或者S为“B”，且明天刮风，……，或者S为An，且pn。其中，“pn”是“An”翻译成元语言后的语句。

说明：我们首先做出以下定义。

（1）“A”为真= df 明天是晴天。

（2）“B”为真= df 明天有风。

其中（1）是对“A”定义的真，（2）是对“B”定义的真。对一个语句定义真就是，对这个语句在任何条件下都为真的必要充分条件给予一个约定。这个条件被称为真理条件。陈述一个语句的真理条件=给一个语句定义真=给予一个语句指示的语义。于是以下（3）～（6）等同于（1）的效果。

（3）“A”为真的充分必要条件是 明天是晴天。

（4）“A”为真 在并仅在 明天是晴天的情况下。

（5）“A”指称 明天是晴天这一命题（事态）。（指称规则）

（6）“A”翻译成元语言之后为“明天是晴天”。

最后，关于Tarski的真理论有兴趣的读者也可以参考一下我之前的回答：如何理解Tarski的真理论？

• Tarski语义学方法的两个特点，也是与Carnap的方法不同的地方

1）Tarski的语义学并没有区分语义学和句法学。

Tarski的理论中对象语言是通过公理方法（一种句法学方法）作为公理体系而组织起来的。因此，对象语言的规则是以形成规则和变化规则为主，解释规则是以非形式的（informal）方式所附加的。这种方法所构成的符号语言被Tarski称之为形式化语言（formalized language）。由于塔斯基的逻辑句法理论是语义学，是通过解释规则来使语言得以解释，所以在卡尔纳普的意义上这种逻辑句法理论（或者说是元逻辑）并不是一种形式化的语言。

卡尔纳普所谓的形式化是指，完全排除解释规则，纯粹仅使用形成规则和变化规则，从一种纯粹的句法学的立场来构成一种语言的语义规则。卡尔纳普的意义上的被形式化的语言，被称为“形式语言”（formal language），要区分于Tarski的形式化语言。

卡尔纳普将Tarski的语义学分为语义学和句法学两个部分。在卡尔纳普的语义学中，将Tarski的语义学保留了形成规则和解释规则，而将变形规则排除在语义学之外。他的句法学，是由形成规则和变化规则的理论所构成的，解释规则被排除在外。（这种区分的目的我会在后面的文章中有所涉及。卡尔纳普对于语义学和句法学关系的理解构成了他语义学理论的重要内容。）

2）Tarski方法中的真理概念并没有像Carnap一样区分基础真理概念，逻辑真理概念，和事实真理概念。

卡尔纳普对此作出了严格的区分，将语义学分为基础语义学和L-语义学。L-语义学中进一步分为与L-概念相关的部分与F-概念相关的部分。在这一基础上给出了L-真和F-真概念的定义。（由于很重要，后续文章会详细解说。）

3.卡尔纳普语义学的真理规则

我们先从Tarski真定义的问题中引出卡尔纳普的真定义。上述的“真”定义，也就是对象语言的语句在有限个的情况下Tarski给出的真定义的一般形式化如下：

1. S为真= _df p

给与上述形式定义之后，后面的复合语句就可以用所谓递归定义（recursive）的方法给予定义了。所以给出了这种形式的“真”定义也就等于解决了“真”的定义问题，语句个数在有限的情况下就已经定义完成了。但是我们仍然希望有包含在语句是无限的情况下也能够适用的定义。然而上述1并算不上是“真”的定义，而是起到了判断被给定的定义是否是满足要求条件的合适定义的作用。我们把这个真理概念合适定义的判定标准，用卡尔纳普的方法严密的作出规定。

卡尔纳普将对象语言和元语言是同一个系统的语言的情况（并不是导致说谎者悖论的semantically closed language）的情况，和不是在一个系统语言下的情况。

• T约定

I：对象语言和元语言在同一系统

“S为真=_df p”这一语句函项中，“p”中代入任意语句，“S”中带入此语句的名，所得到的全部语句，都可以从谓词“真”的定义中被导出时，“真”这一为此以及其定义是妥当的（valid）。

II：对象语言和元语言不在同一个系统

“S为真= _df p”这一语句函项中，“S”中带入对象语言中任意语句的名，“p”中代入此语句翻译成元语言的语句，所得到的全部语句都可以从谓词“真”的定义中被导出时，“真”这一为此以及其定义是妥当的。

为了证明此T约定中所给出的谓词“”真和其定义是合适的，我们需要比元语言更为高阶的元元语言（metametalanguage），同时也需要将元语言进行数学化的严密的语义学，所以我们不得不证明无限多的语句。Tarski和卡尔纳普都没有这么做，而只是通过有限回的测试判断是否在直观上是适合的而已。

• 卡尔纳普给出的真的定义如下：

定义1：S为真= _df Des（S，p），且存在为p的命题p。

说明：Des（S，p）读做“S指称p”。我们将“语句S指称某一命题（事态）P，且P”这一语句当中的“某一”进行符号化，得出（∃p）（Des（S，p）•p），也就是：存在Des（S，p）且p的命题p，我们可以看到“存在”这个词并没有给出（∃p）之外的语义。

我们举个例子：

2. “A”为真= _df Des（“A”，明天是晴天），且明天是晴天。

也就是说，“A”为真就是：“A”指称明天是晴天（这一命题），且明天是晴天。“存在”这一个词消失，是因为“p”这一变元消失而被“明天是晴天”这一语句取代了。

如刚才所说，我们虽然不能给这个定义是妥当的以严格证明，但是我们可以通过T约定II进行有限次数的测试来达到直观上确认其妥当性。具体的测试过程比较简单就不加以赘述，通过测试我们可知卡尔纳普的真理定义是妥当的。

• 包含变元的“真”定义

我们首先要定义“满足”（satisfy，fulfil）这一语义学用词。这一用词出现在元语言：“满足以下条件”中。我们不能仅仅只用直观的理解，更要将其作为语义学的用词加以定义。

充足是对象和语句函项之间的语义学关系。我们这里用æ来表示语句函项。

3. 对象u满足语句函项æ。

“满足“这一词在这种形式的元语言的文脉中出现。举个例子：

4. 对象康德满足语句函项“x是哲学家”。

我们用符号Px表示“x是哲学家”，也就是采用指称规则“谓词‘P’指示哲学家这一性质”。则以下元语言的语句与4同义。

5. 对象康德满足语句函项“Px”。

我们下一步来讨论一下更为复杂的情况。“x比y大”用“Rxy”或“xRy”来表示，可得

6. 顺序对<太阳，地球>满足语句函项“Rxy”。

我们首先要理解列（sequence）和系列（series）的概念之间的关联。

• 系列和列

系列和列是相似但不同的概念。我们把系列定义为一种线性顺序（linear order）关系，其中包括有限系列和无限系列。系列定义如下：

定义2：关系R是系列=_df R是非反射的，连结的，推移的。

当关系R满足以下条件1为非反射的，满足条件2为连结的，满足条件3为推移的。

（1）（x）～（xRx）（非反射性）

（2）（x）（y）（x≠y ⊃xRy∨yRx）（连结性）

（3）（x）（y）（z）（xRy•tRz⊃xRz）（推移性）

而列是非系列的线性顺序，比如0，1，2，0，……这个外延集合表示的线性顺序同时在初项和第四项出现了同样的元，不满足非反射性，因而不是系列，但是是列，同时，列也可以使用内涵表示的方法。也就是说用对象和自然数之间一对多的关系来定义列，此时指称这一对多的关系的谓词就能够表示列了。但是我们在此不打算深入讨论Tarski和Carnap他们所讨论的列的内涵定义问题，而只使用外延表记法。比如，a，c，b，a，b就是使用三个对象a，b，c构成的五项列的外延表达。

语义学中列的概念很重要。首先一个表达式就是符号的有限列。

其次，要理解满足的概念，列的概念是不可或缺的。列可分为有限列和无限列，下面是有限列的两个特例：

空列（null sequence）：项数=0的情况；

单位列（unit sequence）：项数=1的情况。

于是5可以换写为

7. 单位列 康德 满足语句函项“Px”。

6可以换写为

8. 二项列 太阳，地球 满足语句函项“Rxy”。

我们接下来定义7：

9. 单位列 康德 满足“Px”=_df 康德是哲学家。

说明：把自由变元和函项表达代入给定值即可。当然我们也可以把7如下定义：

10. 单位列 康德 满足“Px”= _df  自由变元“x”所分配的单位列 康德 具有 谓词“P”所指称的哲学家这种性质。

假设“真”的用词在已知的情况下，我们可以用“真”来给出以下定义：

11. 单位列 康德 满足“Px”= _df 给“Px”的自由变元“x”代入单位列的元 康德的名“康德”，给 谓词“P”代入翻译成元语言的表达，所得的语句“康德是哲学家”为真。

然而我们需要使用满足来定义“真”，所以这种方法实际上是不能使用的。

由于满足这一概念是对象的有限列和语句函项间的关系，所以要把这一概念拓展到有限列和语句的关系上，我们要把语句看作是语句函项的特殊情况。语句函项是包含自由变元的语句形式表达，于是语句就是自由变元的个数n=0的特殊情况。

定义3：S是语句 = _df S是语句函项，S所包含的自由变元的个数n=0

接下来我们再来看有限列和语句之间的满足关系：

12. 空列满足“Pa”= _df 个体定元“a”所指称的个体康德，具有谓词“P”所指称的哲学家这种性质。

• 卡尔纳普语义学的真理规则

其中为了在包含变元的语义学体系中规定各种形式的表现函项（带有自由变元的表达）所能够确定（determine）的内容，以及语句函项所确定的属性，卡尔纳普制定了确定规则（rules of determinations）。首先定义了“确定”的概念，然后用此概念定义“满足”，但是在后面提示了有直接使用“满足”概念的方法。日本哲学家永井成男在一篇论文中根据卡尔纳普的提示，取代确定规则制定了满足规则（rule of determination），由于这种方法比较简洁而且更为接近Tarski，也非常有意思，我在此把永井的方法完整的摘录翻译下来，用以和Tarski的语义学与卡尔纳普的另一种方法（见[1]§§11）做出更为直观的比较。

我们接下来在前面PL语义学体系的基础上构成的PL'语义学体系中给出卡尔纳普语义学的真理规则。

• PL'语义学体系

1：形成规则：在这里无须多言

2：解释规则

I. 指称规则

“a”指称康德；“b”指称太阳；“c”指称地球……

“P”指称哲学家……“R”指称大于……

II. 满足规则

“u”为有限列，同时指称空列，和n项（n>0）有限列u₁，u₂，……，u_n的符号。

1）语句函项（包括语句）S是pr（in₁，in₂，……，in_n）的情况。

有限列u满足语句函项S=_df M（u′）。此处假定了以下操作。“M”为pr翻译成元语言的表达形式，“u′”是S的自由变元中代入有限列u的项的名，个体定元中代入翻译成元语言的表达形式，所得到的个体符号的有限列。

例：S为“Px”的情况，“康德满足‘Px’”如下定义。即M（u′）如下可得：

“M”是“P”翻译成元语言的表达“哲学家”，“u′”是有限列u的项的名 康德 代入“Px”中自由变元“x”后所得的个体符号的有限列“康德”。于是M（u′）整体为：“康德是哲学家”。

S是“Rxy”的情况，“有限列 太阳，地球 满足‘Rxy’”的定义如下。即M（u′）如下可得：

“M”是“R”翻译成元语言的表达“大于”，“M（u′）”是有限列 太阳，地球 的项的名“太阳”，“地球”代入“Rxy”中自由变元“x”“y”后所得的个体符号的有限列“太阳”，“地球”。于是M（u′）整体为：“太阳比地球大”。

S是“Rxc”的情况，“有限列 太阳 满足‘Rxc’”的定义如下。即M（u′）如下可得：

“M”是“R”翻译成元语言的表达“大于”，“u′”是有限列 太阳 的项的名“太阳”代入“Rxc”中自由变元“x”，个体常元“c”中代入翻译成元语言的表达“地球”后，所得的个体符号的有限列“太阳”，“地球”。于是M（u′）整体为：“太阳比地球大”。

不包含自由变元的语句“Pa”的情况。“空列u 满足‘Pa’”的定义如下。即M（u′）如下可得：

“M”是“R”翻译成元语言的表达“哲学家”，至于“u′”，由于与空列的项的名相关的操作为空，所以是没有必要的。代入将个体定元“a”翻译元语言后的表达吼得到所得的个体符号的有限列“康德”。于是M（u′）整体为：“康德是哲学家”。

2）语句函项S为～（æ_i）的情况。

有限列u满足语句函项S=_df有限列u不满足语句函项æ_i。

3）语句函项S为（æ_i∨æ_j）的情况。

有限列u满足语句函项S=_df有限列u至少满足语句函项æ_i或æ_j其中之一。

4.）语句函项S为（æ_i）∙（æ_j），（æ_i）⊃（æ_j），（æ_i）≡（æ_j）的情况和前面类似，不多加赘述了。

既然我们有了“满足”的定义，我们接下来具体的定义“真”。

III. 真理规则

S为真=_df S是语句，且空列u满足S。

根据上述真理规则，有

13. “Pa”为真=_df 空列u满足“Pa”。进而可得

14. 空列u满足“Pa”=_df 康德是哲学家。所以

15. “Pa”为真=_df 康德是哲学家。

此结果满足上述的T约定，因此可以认为由满足概念所得的真理概念的定义是妥当的定义。当然这个定义不管适合语言PL'，也适合包含变元的任意语言。此定义如下：

定义4：S为真=_df S是语句，且空列满足S。

同时我们还可以进一步定义“伪”。

定义5：S为伪=_df S是语句，S非真。

参考文献

[1]Carnap，Rudolf（1942）.Introduction to Semantics. Cambridge：Harvard University Press.

[2]Tarski，Alfred（1936）. The concept of truth in formalized languages. In A. Tarski （ed.），Logic，Semantics，Metamathematics. Oxford University Press. pp.152--278.

[3]Tarski，Alfred（1943）. The semantic conception of truth and the foundations of semantics.Philosophy and Phenomenological Research4（3）：341-376.

资料来源：必然性，无限，时空 2019-02-05 19：11