资料来源：数易鼠，2023-02-19 19：30北京

一、五行的原始意义与引申意义

1.从河图出发理解五行的原始意义

第5、6、7连续三期我们讲过河图，知道河图是古人刻画方位的一种数学模型。其中奇数称为天数、阳数，偶数称为地数、阴数。除了从刻画方位理解外，我们也可以从“气”的运行去理解。

可以三个角度去理解“气”，太阳照射到地面的光和热称为阳气，阳气的反面称为阴气，阳气与阴气交合称为中气。在我们地面上的东南西北的四个方位中，从1（北）→3（东）→7（南），阳光越来越充足，我们认为阳气上升，阴气下降；从2（南）→4（西）→6（北），越来越阴冷，我们认为阴气上升，阳气下降。显然阳气与阴气在进行“圆运动”，阴气与阳气二者螺旋按圆周运动，中间“枢纽5”即为中气。

然后1生成水（用外圈的6表示），3生成木（用外圈的8表示），2生成火（用外圈的7表示），4生成金（用外圈的9表示）。中气生成土（用围绕中央的10表示），

在河图中，白圆点（阳）与黑圆点（阴）并列表示阴中有阳、阳中有阴；中央5个白圆点表示中气，中圈的圆点个数既表示顺序，又表示升（左边3个白圆点）、降（右边4个黑圆点）、浮 （上方2个黑圆点）、沉（下方1个白圆点）。

以上所说升、降、浮、沉，都是指“气”而言。孟凯韬教授指出：中国古人对气的认识有氧、氢、氮、碳等4种；中国古人只注重它们的功能和作用，即氧上升、氢上浮、氮下降、碳下沉，并从升降区分出清浊（清则浮升、浊则沉降）。清浊之间是谓中气（中气也即氧、氢、氮、碳中和之气），乃是阴阳升降的枢轴。

可以这样来理解的“气”的运化。从河图上来看，从北开始考虑清气，清气按顺时针左旋上升，升一半的时候就是木，升到顶部就是火；再从南考虑浊气，浊气按顺时针右旋下降，降到一半的时候是金，降到底的时候是水。阳升、阴降，原本是直上、直下，但由于阴中有阳、阳中有阴，所以在旋转中，势必会由于二者的相互制约而发生弯曲，故而进行圆运动。所以说，河图也蕴涵着大气圆运动的客观规律。

大气的升、降、浮、沉时刻存在。从时间轴来看，时间的刻画标准不同，它的意义也不一样。若一年分成四季，就是春升、夏浮、秋降、冬沉；若一年分成五季（把夏天的最后一个月单独拿出，作为季夏），那就是春木、夏火、季夏土、秋金、冬水。于是产生了木、火、土、金、水五运，这就是五行。

综上可知，阴阳的原始意义即对太阳的向、背。阴阳二气就属性而言，是清者为阳，浊者为阴；就功能而言，是升者为阳，降者为阴。五行的原始意义，即阴阳二气周期性相对变化的5个不同阶段：阳气由右向左螺旋升化为火，半升则为木；阴气由左向右螺旋降化为水，半降则为金；作为阴阳二气升降枢轴的中气（即未分阴阳的混沌之气）化为土。

2.五行的引申意义

阴阳原指太阳的向背。但我们的先哲并没有继续去剖析阳与阴的结构和成分。而是从阴阳功能出发去引申了，最终把阴阳引申为同一个事物相互对立的两个方面。同样的，五行并不是单指木、火、土、金、水这5种物质本身，而是引申为它们的功能和作用。木气具有疏泄作用，火气具有宣通作用，土气具有运化作用，金气具有收敛作用，水气具有封藏作用。即木={x|x具有疏泄作用}，火={x|x具有宣通作用}，土={x|x具有运化作用}，金={x|x具有收敛作用}，水={x|x具有封藏作用}。

这种引申，实际上就是一种高度的抽象，理解某行时，就不会仅仅根据该行名称的字面意思去狭隘的理解了。而是直接指向的是该行的功能作用。孟凯韬教授说：“可根据诸多事物的功能和作用，将其及与其相关联的其他事物纳入五行的范畴，通过五行的归属研究事物之间的纵向联系，通过五行相生（补其不足）、相克（制其太过）研究事物之间的横向联系。故而阴阳五行被赋予哲学意义，成为中国传统文化的渊薮。”

二、五行的数学哲理释义

1.哲理数学的基础

要对五行从数学哲理的角度去解释，先补充一些数学哲理的基础知识。

任何一个整体都可以分为两个相互对立、又相互依存的两个方面或两种基本属性。其中一个方面若称为阳，另一个方面就可称为阴。整体属性的变化与阴阳两部分属性的变化是密不可分的。它们之间关系的数学模型刻画是什么呢？在哲理数学中有以下定义：

主导属性清晰地定义：假定A是任意一个整体，x为阳，y为阴，A（x）和A（y）分别为x和y在A中所占的比重。把Zx（A）=A（x）-A（y）称为A的以x为主导属性的主导属性明晰度。把Zy（A）=A（y）-A（y）称为A的以x为主导属性的主导属性明晰度.

从该定义出发，可以得到下列性质。

性质1：阴阳双方属性比重关系

根据比重的定义可，A（x）∈[0，1]，A（y）∈[0，1]。由于A被分为阴阳两部分，所以这两部分的比重之和肯定是等于1，即A（x）+A（y）≡1（恒等于1）.这是非常明显的。用文字语言叙述为：阴阳双方属性比重和始终等于1。

性质2：阴阳双方主导属性明晰度的范围

对阳（x）而言，Zx（A）=A（x）-A（y）∈[-1，1]。当且仅当A（x）=1，A（y）=0时，Zx（A）=1；当且仅当A（x）=0，A（y）=1时，Zx（A）=-1。即阳（x）为主导属性的主导属性清晰度在[-1，1]内。

证明：因为0≤A（y）≤1，所以-1≤-A（y）≤0①，又因为0≤A（x）≤1②，由①②知： -1≤A（x）-A（y）≤1.

性质3：阴阳双方主导属性明晰度的直观刻画

让两等圆外切，以两圆心所在直线为时间轴。以时间轴与两圆的交点表示0，以过圆心且与时间轴垂直的直线与上半圆和下半圆的交点分别表示1和-1，每个圆的左半圆周以顺时针方向为正向，每个圆的右半圆周以逆时针方向为正向，建立圆弧坐标系，圆弧上的数值表示主导属性明晰度，如图甲。

首先研究Zx（A）.观察下列表格。当x=0.5时，y也等于0.5，此时显然是一种平衡状态。让x在[0.5，1]之间经历递增，在[1，0]之间经历递减，在[0，0.5]之间再递增。求出Zx（A），把对应的点（t，Zx（A））描出（为对比，我们不妨在图乙中画），就可以得到阳（x）的图像为红色部分。同理可得阴（y）的图像为蓝色部分。需要特别指出的是，孟凯韬教授称上图甲为“象数结合世界全息太极图”。

与乙图蕴涵着极其丰富的哲学规律。我们选取“对立双方消长对称规律和正反相抵规律”来品味。Zx（A）和Zy（A）的变化刻画出A的两个方面发展变化的规律，而Zx（A）=-Zy （A）。

①x与y都是因为时间t的变化而变化的，由于Zx（A）+Zy（A）=0，所以（t，Zx （A））与（t，Zy（A））关于时间轴对称。这意味着正反两个方面相互抵消，这可称之为正反相抵规律。可叙述为同一个事物既对立又统一的两个方面，其消与长是同时发生的。

②主导属性明晰度单调增加意味着“长”，主导属性明晰度单调减少意味着“消”，而刻画Zx（A）和Zy（A）的弧线是关于时间轴对称的，这意味着消长是同时发生的，这可称之为“消长对称规律”。可叙述为：同一个事物既对立又统一的两个方面，在数量或强度上是势均力敌的。

利用图甲与乙除了可以解释哲学中消长对称规律和正反相抵规律外，对立统一规律、顺逆转换规律和物极必反规律、量变质变规律、渐变突变规律和分浑交替规律等等都可以解释。由于内容过于庞大，这里就不一一赘述。有兴趣的朋友可以阅读孟教授的《阴阳五行的新发展》这篇文章，或收集相关书籍进行学习。

2.五行的哲理数学释义

对于五行，首先要明晰两点：①五行当为五种气，它们是阴阳二气的数量相对变化达到五个不同的值所生成的气；②周易十二消息卦揭示出一年12个月或一天12个时辰阴阳二气的数量周期性相对变化的规律。

河图所揭示的规律，如果用哲理数学方法加以表示。用一个圆周，可同时表示出出五运、24节气和12个时辰进行圆运动的规律。下圆左半部系根据公式Zx（A）=A（x）-A（y）绘成；右半部系根据公式Zy（A）=A（y）-A（x）=-Zx（A）绘成。其中，x和y分别表示阳和阴，0≤A（x）≤1，0≤A（y）≤1，而A（x）+A（y）≡1。Zx（A）和Zy（A）分别为以阳和阴为主导属性的主导属 性明晰度。该图反映出自然变化的客观规律。按照自然规律，阳气和阴气分别垂直上升和垂直下降，但由于阴中有阳、阳中有阴，所以发生弯曲而进行圆运动。

在上图中，以1和-1的对应点的连线为界。其左边主导属性明晰度由-1单调增加至1，右边主导属性明晰度由1单调减少至-1，揭示出阳气由右向左升、阴气由左向右降，而进行圆运动的规律。

主导属性明晰度由-1单调增加至0、由1单调减少至0、由0单调减少至-1和由0单 调增加至1，分别揭示出大气升、降、沉、浮的规律。

如何利用该图解释五行的相生相克呢？

列举每行的阴阳变换的数理释义如下：

对于任意两行而言，若阴阳消长情况相同，即二者有相同的基因的话，我们就可以说二者具有相生性（也可称为同一性）。若二者的阴阳消长情况反，就说二者具有相克性（也可称为对立性）。用哲理数学的话来说，二行之间，只要有同一性，二者就相生，只要有相对性，二者就相克。

利用“同一则生、对立则克”的数学哲理，再来解释五行中的“相生与相克”就简单极了。具体地讲，因为木与火皆为阳长阴消，所以木与火具有同一性，故而相生；因为火为阳长阴消，土有阳长阴消的一面，所以火与土具有同一性，故而相生；因为土有阳消阴长的一面，金为阳消阴长，所以土与金具有同一性，故而相生；因为金为阳消阴长，水有阳消阴长的一面，所以金与水具有同一性，故而相生。

因为木为阳长阴消，土有阳消阴长的一面，所以木与土具有对立性，故而相克；因为火为阳长阴消，金为阳消阴长，所以火与金具有对立性，故而相克；因为土为阳长阴消转阳消阴长，水为阳消阴长转阳长阴消，所以土与水具有对立性，故而相克；因为金为阳消阴长，木为阳长阴消，所以金与木具有对立性，故而相克；因为水有阳消阴长的一面，火为阳长阴消，所以水与火具有对立性，故而相克。

又因为相生和相克的双方皆有处于主动地位和被动地位之分，故有主体和客体之别，即有原生和被生、原克和被克之异。但主、客关系并不是绝对的，而存在相互转化的可能性。

对五行作如上诠释，则按照传统的五行概念不能解释的问题都可得到圆满的解释。按数学哲理去解释，一切都会迎刃而解，五行也就不那么神秘了！上期我提到的那些所有质疑也都烟消云散！

以上是我对五行的相生相克从哲理数学的角度进行的解读。哲理数学这门新兴学科有着非常完备的内容、方法、思想体系。它在中医研究和其他一些人文领域的应用越来越广泛，足以显示出其具有极大的生命力。

参考：《哲理数学概论》孟凯韬

说明：我这个《数学浮沉录》系列就是打算从远古数学开始讲起，一直讲到现代。用数学的眼光去看历史，用历史的眼光去看数学，尽可能做到通俗易懂，让大家学得幸福有趣！拥有《数学浮沉录》，你就拥有了一部中国数学史！另外，本人也在写一个小初高一体化数学课程。拥有这个小初高一体化课程，你也就拥有了一所十二年一体的数学学校。欢迎朋友们关注，谢谢！

下面是过去几期，欢迎阅览。

对五行相生相克观点的质疑（数学浮沉录9）

用数学的眼光看中国五行（数学浮沉录8）

揭秘河图的数字意蕴（数学浮沉录7）

河图数字的象意理解（数学浮沉录6）

河图来到了人间？（数学浮沉录5）