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[转载]《几何原本》中的几个硬伤
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资料来源： 职业数学家在民间 2023-11-07 08:30 发表于福建；作者：风云老师
一、
今年年初读完《几何原本》，这段时间开始读英文版。这本举世闻名的数学经典，在两千多年前，就建立了一套严密，完整的数学逻辑演绎体系。
但是，从今天的角度来看，这套名著还是有不少明显的硬伤，反应了古希腊数学家的局限。
二、
1. 这本书最大的逻辑推导漏洞就是在几何证明过程中经常不知觉地，隐性地使用了几何直观，实际上在整本书第一个证明中，就已经出现这个问题。
第一个命题是要证明等边三角形的存在性，但是分别以点A和点B为圆心的两个圆为什么会有交点呢？从几何直观，或者从动手画图的角度来看，这很明显。但严格来说这需要证明。
大家可以看看《几何原本》中有大量的几何证明都有这类问题。
2. 第五卷讲比例理论，第7个定义给出了“A:B大于C:D”的定义，但是没有定义A:B小于C:D。
从命题8命题10的证明可以看出，作者实际上默认将“A:B小于C:D”定义为“C:D大于A:B”。那么，问题来了，有没有可能存在四个量A，B，C，D使得和“A:B小于C:D”和“A:B大于C:D”同时成立呢？
我们都知道，结论是不可能，而且会有很多粗心的读者会直接默认。但是，由于第五卷中，比例大小的定义和比例相等的定义都是较复杂的，所以这个结论绝不是像长度或者数的大小关系显而易见的，而是需要证明的，证明的长度丝毫不比第五卷中的其他命题证明短。
但是，这种结论在第五卷中根本没提，更别说证明。而且在命题10的证明中，直接默许使用了这个结论。
3. 第七卷开头的定义13也有问题。
这个合数的定义其实已经表面“量尽”是指小的数量尽大的数，但是关于互为合数的定义，和后面的证明却表明“量尽”也可以指一个数量尽相等的数。造成这种混乱的局面是因为古希腊数学传统上都是不把1看成是一个数，把1和数区分开来，同时把一部分(a part)和多个部分(parts)也区分开来，这种区分使得几何原本中对初等数论内容的阐述显得非常繁琐冗长，而且拖泥带水，引发了诸多概念的不严谨。
比如定义七八的奇数偶数和定义二十的数成比例都是针对（大于1的）数而言的，但是从第八章中我们发现成比例的数也可以包括1，第九章命题说奇数减偶数得到奇数，但是9-8=1算不算奇数呢？
4. 第八卷命题22又犯了一个明显错误，作者从“A，C是相似面数”，“A是平方数”直接推导出“C也是平方数”。但实际上，这种直接推导，在书中并没有找到可依据的结论。
我们可以写出一个完全等价的命题：
命题22.5：如果两个数是相似面数，且第一个是平方数，则第二个也是平方数。
注意，根据前面的结论(命题18和命题20), 命题22和命题22.5是完全等价的，所以这两个命题至少有一个要老老实实证明，然后可以推出另一个命题。结果作者却想当然的默认了命题22.5。
作者为什么会犯这种错误呢？
我猜作者在这里错误理解了相似面数和平方数的定义，相似面数是指可以写出A=ab，B=cd, 的两个数，其中abcd 成比例。
平方数是指 A=ee这种数。
A=ab, B=cd是相似面数，同时A又是平方数，这并不代表这里的a一定要和b相等。
命题23也犯了完全类似的错误。
三、
另外，从写作风格上看，《几何原本》的语言也是非常晦涩难懂的，但是历史上，许多数学家，科学家，在少年时代都读过《几何原本》，并深受影响。为什么呢？
因为历史上《几何原本》几乎是唯一的几何入门书，而且它所体现的公理化演绎体系是非常震撼人心的。这些数学家，科学家能读进去《几何原本》是因为他们是当时的极少数数学精英，科学精英，但当时绝大部分人却对《几何原本》中晦涩难懂的语言望而却步。
四、
那么能不能既将公理化思想和方法完整地展示出来，又能讲的通俗易懂，便于中小学生接受呢？
我的推荐就是直接读《中小学数学要义》第四章。在这一章中，我们从四个显而易见的公理出发，推出大量基本的平面几何定理。
在这一章的写作过程中，我一直有两个要求：
1. 推导过程要尽可能严谨。
2. 语言要简洁易懂。
其实这两个要求是非常难调和的，所以这一章的写作是非常考验作者的数学功底和数学表达功底。
我自己对这一章的写作还是很满意的，书出版后，读者对这一章内容的反馈也非常不错。希望这一章节的内容能让更多的人了解公理化思想。
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