（五）数学模型描述传染病

在流行病学与统计学的发展过程中，数学模型也起着重要作用。最早应用数学模型描述传染病的是一位数学家。丹尼尔·伯努利（Johann Bernoulli，1700-1782，图6-59）是一位一专多长的科学家，他虽然也是医学博士和生理学教授，但他的主要贡献是数学。他的全部数学和力学著作、论文超过80种，1725-1757年的30多年间他曾因天文学（1734）、地球引力（1728）、潮汐（1740）、磁学（1743，1746）洋流（1748）、船体航行的稳定（1753，1757）和振动理论（1747）等成果，获得了巴黎科学院10次以上的奖赏。此外，他还是波伦亚（意大利）、伯尔尼（瑞士）、都灵（意大利）、苏黎世（瑞士）和慕尼黑（德国）等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的称号。

用数学模型研究传染病的做法，最早来自这位博学多才的巨匠。18世纪初，天花病毒正在肆虐欧洲，人们发现东方传入的人痘接种术似乎能够对抗这种疾病，但接种后仍有很高的死亡率，这引起了大数学家丹尼尔·伯努利的注意。丹尼尔也是流体力学的祖师爷，听说了天花接种的疗法后，他便开始琢磨怎么用数学去描述天花的传播以及接种的功效。

图6-59  数学家丹尼尔·伯努利，Wikimedia Commons

受限于时代，伯努利的想法比较朴素，他将人群分成感染者与未感染者，感染者既有可能治愈变成未感染者，也会因病死亡。伯努利的高明之处在于，他考虑了人的年龄也就是时间因素，假定疾病治愈率与研究人群的年龄段相关，以此建立了数学方程（图6-60）。

图6-60  伯努利的模型类似于后来的SI模型 ，是最为简单的传染病模型之一

参考资料https：//institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-si.html 

经过一番计算研究，伯努利得出结论：尽管有一定风险，人痘接种在统计上仍然能让人的寿命延长3年左右。

虽然以现在的眼光看，伯努利的研究一点也不严谨，得出的结论也是显而易见的（接种疫苗有助于控制疾病传播），人痘接种术在牛痘疫苗出现后也几乎销声匿迹，但伯努利是第一个尝试用数据和方程去分析传染病传播趋势、判断控制措施有效性的数学家，这种科学思维在那个人类完全被传染病支配的时代显得尤为珍贵，直到今天仍然是用数学方法研究传染病的最基本思想。

100多年后的20世纪初，用数学模型研究传染病的方法（后来发展为一门叫“数理流行病学”的学科）迎来了飞速发展，这很大程度上要归功于苏格兰军医麦肯德里克（Anderson Gray McKendrick）和生物化学家威廉·克马克（William Kermack）（图6-31）。

图6-61  提出SIR模型的麦肯德里克和克马克

麦肯德里克曾在印度服役，当时印度鼠疫横行，夺去了数十万人的生命。然而与大多数医生钻研医术不同，麦肯德里克把很多心思放在了研究数学方程上，并发现鼠疫的感染人数趋势和数学的某些函数曲线非常相像。

从印度回国后，他与生物化学家威廉·克马克（William Kermack）合作，开始对鼠疫爆发的患病人数、患者生存天数等数据进行分析，最终提出了数理流行病学中里程碑式的模型：SIR模型。直到今天，绝大多数从数学角度分析传染病的研究都或多或少有这个模型的影子。

SIR模型的基本概念并不难：S代表Susceptible，易感者，也就是可能被传染但还没有感染的人；I代表Infected，感染者，即已经被传染但尚未死亡的人；R代表Removed，移除者，他们有可能被感染后痊愈了，也有可能是因病死亡。

当然还有一个样本人数不变的假设，也就是易感者+感染者+移除者的人数之和假定不变。

6-62  SIR模型示意图，Perception Heallth

有了这样一个数学模型，就需要研究三个群体随时间的变化趋势——比如说，第1天有了3个感染者，到了第10天会有多少人感染？因痊愈或死亡产生的移除者又会有多少个？

为了求出不同人群与时间的关系式，数学家引入了一组微分方程，并解出这个复杂方程里的S、I、R与时间t的关系函数。具体的计算过程在此略去，最终，我们需要获得这个疾病的传染趋势：横轴代表时间，纵轴代表群体的人数。你可以很直观的看到，I代表的感染者数量随时间迅速增长，S代表的易感者相应变少，最后的结果是大部分被“移除”了（可能是治愈或者是病死），不再存在感染者。

6-63  SIR模型给出的传播趋势

参考资料：Luz P M , Struchiner C J , Galvani A P , et al. Modeling Transmission Dynamics and Control of Vector-Borne Neglected Tropical Diseases[J]. PLoS Neglected Tropical Diseases, 2010, 4(10):e761.

当然，SIR模型虽然简洁，但是应用起来，它常常需要衍生出SEIR、C-SEIR等多个变种模型，从而能更为精确地描述传染病的传播趋势。2013年埃博拉疫情在非洲爆发，英国开始对来自高风险国家的入境人员进行筛查。然而有团队在建立数学模型后发现，只有7%的埃博拉感染者可能在国家边境被发现，加上病毒潜伏期也比较长，病毒携带者初期可能并没有表现出任何症状，最有效的措施还是在病毒发源地对感染者（以及疑似感染者）进行隔离来遏制病毒传播。正是通过这样的方式，数学模型在遏制传染病传播起到了越来越重要的作用。