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逻辑与想象力---究竟有多少个等式?
鲍海飞 2013-10-24
上小学四年级的女儿放学回家后,拿出一道数学题,说要考考我。然后,翻出练习册,那题目如下:在下列算式中,1 2 3 4 5 6 7=1,不许改变数字的顺序,可以使用加、减、乘、除和括号使等式成立。
我一看,呵呵,还真有趣,但是一开始还真有点懵。我想了一会儿,首先说了一句,应该有1´2,女儿忙说:“对对!我们班同学有人做出来了。”于是,经过一番思想斗争,我写出了第一个等式:
1´2+3+4+5-6-7=1 (1)
难道就这一个解吗?我于是又想了想,写出了第二个等式:
(1´2´3´4)-(5´6-7)=1 (2)
我不信,就这两个解吗!我坐在沙发上,拿笔又开始计算,半个小时后,我收获了不少。你瞧:
(1+2+3+4)¸5+6-7=1 (3)(注释:实际上相当于8-7)
-(1´2)+3+4-5-6+7=1 (4)(注释:实际上相当于7-6)
(1+2)¸3+4-5-6+7=1 (5)
1´(2-3-4+5)-6+7=1 (6)(注释:实际上相当于7-6,但用到了前面括号中的0)
1´(2-3-4+5-6+7)=1 (7)(注释:括号内凑成1)
-1´(2-3)´(4-5)´(6-7)=1 (8)(这个有趣!)
(1-2)´(3+4+5)+6+7=1 (9)
我再没有往下想,也许还能写出新的表达式。但这里面有规律可循吗?究竟能够写出多少个这样的等式解呢?
那么从简单的算式来看看,是否有什么规律:
如果是两个数:1 2=1,那么很简单:-1+2=1;还有一个-1´(1-2)=1;(有两个等式)
如果是三个数:1 2 3=1,那么可以写出一个:-1´2+3=1;(1+2)¸3=1;
还有-1´(2-3)=1;(-1-2) ¸(-3)=1;(写出了四个)
如果是四个数:1 2 3 4=1,那么至少可以写出:
1´2+3-4=1;(1)
-1+2´3-4=1;(2)
(1-2)´3+4; (3)
1´(2+3-4)=1; (4)
(1-2)´3+4=1;(5)
(-1+2)´(-3+4)=1;(6)
(-1+2+3)¸4=1;(7)
-(-1+2+3)¸(-4)=1;(8)(居然有八个等式!还有吗?)
如果是五个数:1 2 3 4 5=1,可以写出:
1+2-3-4+5=1; (1)
1-2+3+4-5=1; (2)
(1´2-3)´4+5=1; (3)
-((1+2) ¸3)´4+5=1; (4)
1´(2-3)´4+5=1; (5)
1´(-2+3+4)¸5=1; (6)
1´(2-3)´(4-5)=1(7);(只写了7个,肯定还有!)
如果是六个数::1 2 3 4 5 6=1,可以写出:
1´2´3-4+5-6=1;(1)
1-2-3+4-5+6=1; (2)
-1+2+3-4-5+6=1; (3)
-1+2-3+4+5-6=1; (4)
-(1´2´3)-4+5+6=1; (5)
-1´(2+3-4)´5+6=1; (6)
(-1+2)´3´4-5-6=1; (7)
-1´(2´3+4)+5+6=1; (8)
(-1+2)´(-3+4+5)¸6=1; (9)
(-1+2)´(3-4)´(5-6)=1; (10)
(-1+2)¸(3-4)´5+6=1; (11)
(-1+2)¸(3-4)¸(5-6)=1;(12) (居然写了12个,还有吗?)
其中,还是有一些规律可循,如一个最简单的构成规律便是相邻数字相减,然后再乘或者除来构成!如:(-1+2)´(3-4)´(5-6)=1。
回过头来,再看7个数字时,我只写出了9个等式(没有再往下写),那么到8,或者到9的情况下,是不是有更多个等式呢?看样子,答案是毋庸置疑的,但对于一组固定的数列,到底会有多少个等式呢?有没有一个最大值?有没有规律可循呢?这确实是一道很有趣味的数学题,又所谓条条道路通罗马!但如何个通法,也许只能发挥逻辑和想象力来构建了!
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