逻辑与想象力---究竟有多少个等式？

鲍海飞 2013-10-24

上小学四年级的女儿放学回家后，拿出一道数学题，说要考考我。然后，翻出练习册，那题目如下：在下列算式中，1 2 3 4 5 6 7=1,不许改变数字的顺序，可以使用加、减、乘、除和括号使等式成立。

我一看，呵呵，还真有趣，但是一开始还真有点懵。我想了一会儿，首先说了一句，应该有1´2，女儿忙说：“对对！我们班同学有人做出来了。”于是，经过一番思想斗争，我写出了第一个等式：

1´2+3+4+5-6-7=1  （1）

难道就这一个解吗？我于是又想了想，写出了第二个等式：

（1´2´3´4）-（5´6-7）=1   （2）

我不信，就这两个解吗！我坐在沙发上，拿笔又开始计算，半个小时后，我收获了不少。你瞧：

（1+2+3+4）¸5+6-7=1 （3）（注释：实际上相当于8-7）

-（1´2）+3+4-5-6+7=1 （4）（注释：实际上相当于7-6）

（1+2）¸3+4-5-6+7=1  （5）

1´（2-3-4+5）-6+7=1   （6）（注释：实际上相当于7-6，但用到了前面括号中的0）

1´（2-3-4+5-6+7）=1   （7）（注释：括号内凑成1）

-1´（2-3）´（4-5）´（6-7）=1 （8）（这个有趣！）

（1-2）´（3+4+5）+6+7=1  (9)

我再没有往下想，也许还能写出新的表达式。但这里面有规律可循吗？究竟能够写出多少个这样的等式解呢？

那么从简单的算式来看看，是否有什么规律：

如果是两个数：1 2=1，那么很简单：-1+2=1；还有一个-1´(1-2)=1；(有两个等式)

如果是三个数：1 2 3=1，那么可以写出一个：-1´2+3=1；（1+2）¸3=1；

还有-1´（2-3）=1；(-1-2) ¸(-3)=1;（写出了四个）

如果是四个数：1 2 3 4=1，那么至少可以写出：

1´2+3-4=1；(1)

-1+2´3-4=1；(2)

(1-2)´3+4;  (3)

1´(2+3-4)=1;  (4)

(1-2)´3+4=1；(5)

(-1+2)´(-3+4)=1；(6)

（-1+2+3）¸4=1；(7)

-（-1+2+3）¸（-4）=1；(8)（居然有八个等式！还有吗？）

如果是五个数：1 2 3 4 5=1，可以写出：

1+2-3-4+5=1；   (1)

1-2+3+4-5=1；    (2)

(1´2-3)´4+5=1;     (3)

-((1+2) ¸3)´4+5=1;   (4)

1´(2-3)´4+5=1；  (5)

1´（-2+3+4）¸5=1； (6)

1´(2-3)´(4-5)=1(7);（只写了7个，肯定还有！）

如果是六个数：：1 2 3 4 5 6=1，可以写出：

1´2´3-4+5-6=1；(1)

1-2-3+4-5+6=1; (2)

-1+2+3-4-5+6=1; (3)

-1+2-3+4+5-6=1;  (4)

-(1´2´3)-4+5+6=1; (5)

-1´(2+3-4)´5+6=1; (6)

(-1+2)´3´4-5-6=1; (7)

-1´(2´3+4)+5+6=1； (8)

(-1+2)´(-3+4+5)¸6=1; (9)

(-1+2)´(3-4)´(5-6)=1; (10)

(-1+2)¸(3-4)´5+6=1; (11)

(-1+2)¸(3-4)¸(5-6)=1;(12) （居然写了12个，还有吗？）

其中，还是有一些规律可循，如一个最简单的构成规律便是相邻数字相减，然后再乘或者除来构成！如：(-1+2)´(3-4)´(5-6)=1。

回过头来，再看7个数字时，我只写出了9个等式（没有再往下写），那么到8，或者到9的情况下，是不是有更多个等式呢？看样子，答案是毋庸置疑的，但对于一组固定的数列，到底会有多少个等式呢？有没有一个最大值？有没有规律可循呢？这确实是一道很有趣味的数学题，又所谓条条道路通罗马！但如何个通法，也许只能发挥逻辑和想象力来构建了！